Materi Pelatihan – 1
DASAR DAN KONSEP
TEORI BELAJAR
1. TEORI DAN KONSEP BELAJAR BRUNER (teori dukung 3.1.1+2)
Sebagai guru kelas di sekolah dasar di suatu sekolah,
Saudara akan selalu terkait dan terlibat
dalam pembelajaran matematika sekolah. Keterlibatan ini
menjadikan pembelajaran
matematika sekolah begitu penting bagi Anda. Karena
matematika merupakan ilmu universal
yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai
peran dalam berbagai disiplin
dan memajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran Matematika
perlu diberikan kepada semua
peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali
peserta didik dengan kemampuan
berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif,
serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi
tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki
kemampuan memperoleh, mengelola, dan
memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan
yang selalu berubah, tidak pasti,
dan kompetitif. Untuk menguasai dan mencipta teknologi dan
kemampuan berpikir logis,
analitis, sistematis, kritis, dan kreatif di masa depan,
maka diperlukan penguasaan matematika
yang kuat sejak dini dan pembelajaran yang membuat siswa
belajar dan menjadi bermakna.
Adapun tujuan matematika sekolah, khusus di Sekolah Dasar
(SD) atau Madrasah Ibtidiyah
(MI) agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.
1.1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan
antarkonsep dan
mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat,
efisien, dan tepat, dalam
pemecahan masalah.
1.2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan
manipulasi matematika dalam
membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan
gagasan dan pernyataan
matematika.
1.3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami
masalah, merancang model
matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang
diperoleh
1.4. Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel,
diagram, atau media lain untuk
memperjelas keadaan atau masalah.
1.5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam
kehidupan, yaitu memiliki rasa
ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari
matematika, serta sikap ulet dan
percaya diri dalam pemecahan masalah.
Bruner, mengungkapkan bahwa dalam proses belajar anak
sebaiknya diberi kesempatan
memanipulasi benda-benda atau alat peraga yang dirancang
secara khusus dan dapat diotakatik
oleh siswa dalam memahami suatu konsep matematika. Melalui
alat peraga yang ditelitinya
itu, anak akan melihat langsung bagaimana keteraturan dan
pola struktur yang terdapat dalam
benda yang sedang diperhatikannya itu. Keteraturan tersebut
kemudian oleh anak dihubungkan
dengan intuitif yang telah melekat pada dirinya. Peran guru
dalam penyelenggaraan pelajaran
tersebut, (a) perlu memahami sturktur mata pelajaran, (b)
pentingnya belajar aktif supaya
seorang dapat menemukan sendiri konsep-konsep sebagai dasar
untuk memahami dengan
benar, (c) pentingnya nilai berfikir induktif.
Dengan demikian agar pembelajaran dapat mengembangkan
keterampilan intelektual anak
dalam mempelajari sesuatu pengetahuan (misalnya suatu konsep
matematika), maka materi
pelajaran perlu disajikan dengan memperhatikan tahap
perkembangan kognitif/ pengetahuan
anak agar pengetahuan itu dapat diinternalisasi dalam
pikiran (struktur kognitif) orang tersebut.
Proses internalisasi akan terjadi secara sungguh-sungguh
(yang berarti proses belajar terjadi
secara optimal) jika pengetahuan yang dipelajari itu
dipelajari dalam tiga tahapan yaitu tahap
enaktif, ikonik dan tahap simbolik.
1.1.Tahap Enaktif
Dalam tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan
anak secara langsung terlibat dalam
memanipulasi (mengotak-atik) objek. Pada tahap ini anak
belajar sesuatu pengetahuan di mana
pengetahuan itu dipelajari secara aktif, dengan menggunakan
benda-benda konkret atau
menggunakan situasi yang nyata, pada penyajian ini anak
tanpa menggunakan imajinasinya
atau kata-kata. Ia akan memahami sesuatu dari berbuat atau
melakukan sesuatu.
1.2. Tahap Ikonik
Tahap ikonik, yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu
pengetahuan di mana pengetahuan itu
direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk bayangan visual
(visual imaginery), gambar, atau
diagram, yang menggambarkan kegiatan kongkret atau situasi
kongkret yang terdapat pada
tahap enaktif tersebut di atas (butir a). Bahasa menjadi
lebih penting sebagai suatu media
berpikir. Kemudian seseorang mencapai masa transisi dan
menggunakan penyajian ikonik yang
didasarkan pada pengindraan kepenyajian simbolik yang
didasarkan pada berpikir abstrak.
1.3.Tahap Simbolis
Dalam tahap ini bahasa adalah pola dasar simbolik, anak
memanipulasi simbul-simbul atau
lambang-lambang objek tertentu. Anak tidak lagi terikat
dengan objek-objek seperti pada tahap
sebelumnya. Anak pada tahap ini sudah mampu menggunakan
notasi tanpa ketergantungan
terhadap objek riil. Pada tahap simbolik ini, pembelajaran
direpresentasikan dalam bentuk
simbol-simbol abstrak (abstract symbols), yaitu
simbol-simbol arbiter yang dipakai berdasarkan
kesepakatan orang-orang dalam bidang yang bersangkutan, baik
simbol-simbol verbal
(misalnya huruf-huruf, kata-kata, kalimat-kalimat),
lambang-lambang matematika, maupun
lambang-lambang abstrak yang lain.
Contoh (3.1.2)
Dalam mempelajari penjumlahan dua bilangan cacah,
pembelajaran akan terjadi secara
optimal jika mula-mula siswa mempelajari hal itu dengan
menggunakan benda-benda konkret
(misalnya menggabungkan 3 kelereng dengan 2 kelereng, dan
kemudian menghitung
banyaknya kelereng semuanya ini merupakan tahap enaktif.
Kemudian, kegiatan belajar
dilanjutkan dengan menggunakan gambar atau diagram yang
mewakili 3 kelereng dan 2
kelereng yang digabungkan tersebut (dan kemudian dihitung
banyaknya kelereng semuanya,
dengan menggunakan gambar atau diagram tersebut/ tahap yang
kedua ikonik, siswa bisa
melakukan penjumlahan itu dengan menggunakan pembayangan
visual (visual imagenary) dari
kelereng tersebut. Pada tahap berikutnya yaitu tahap
simbolis, siswa melakukan penjumlahan
kedua bilangan itu dengan menggunakan lambang-lambang
bilangan, yaitu : 3 + 2 = 5. Dengan
cara yang sama dapat dilanjutkan dengan perkalian fakta
dasar lainnya.
Selain mengembangkan teori perkembangan kognitif, Bruner
mengemukakan teorema atau
dalil-dalil berkaitan dengan pengajaran matematika.
Berdasarkan hasil-hasil eksperimen dan
observasi yang dilakukan oleh Bruner dan Kenney, pada tahun
1963 kedua pakar tersebut
mengemukakan empat teorema/dalil-dalil berkaitan dengan
pengajaran matematika. Keempat
dalil tersebut adalah :
1.1. Dalil Konstruksi / Penyusunan (Contruction Theorem)
Di dalam teorema kontruksi dikatakan bahwa cara yang terbaik
bagi seseorang siswa
untuk mempelajari sesuatu atau prinsip dalam Matematika
adalah dengan mengkontruksi atau
melakukan penyusunan sebagai sebuah representasi dari konsep
atau prinsip tersebut.
Alasannya, jika para siswa bisa mengkontuksi sendiri
representasi tersebut mereka akan lebih
mudah menemukan sendiri konsep atau prinsip yang terkandung
dalam representasi tersebut,
sehingga untuk selanjutnya mereka juga mudah untuk mengingat
hal-hal tesebut dan dapat
mengaplikasikan dalam situasi-situasi yang sesuai.
Dalam proses perumusan dan mengkonstruksi atau penyusunan
ide-ide, apabila disertai
dengan bantuan benda-benda konkret mereka lebih mudah
mengingat ide-ide tersebut. Dengan
demikian, anak lebih mudah menerapkan ide dalam situasi
nyata secara tepat. Seperti yang
diuraikan pada penjelasan tentang modus-modus representasi,
akan lebih baik jika para siswa
mula-mula menggunakan representasi kongkret yang
memungkinkan siswa untuk aktif, tidak
hanya aktif secara intelektual (mental) tetapi juga secara
fisik.
Contoh (3.1.5) untuk memahami konsep penjumlahan misalnya 5
+ 4 = 9, siswa bisa
melakukan dua langkah berurutan, yaitu 5 kotak dan 4 kotak,
cara lain dapat direpresentasikan
dengan garis bilangan. Dengan mengulang hal yang sama untuk
dua bilangan yang lainnya
anak-anak akan memahami konsep penjumlahan dengan pengertian
yang mendalam.
Contoh lain (3.1.3), anak mempelajari konsep perkalian yang
didasarkan pada prinsip
penjumlahan berulang, akan lebih memahami konsep tersebut.
Jika anak tersebut mencoba
sendiri menggunakan garis bilangan untuk memperlihatkan
proses perkalian tersebut. Misalnya
3 x 5, ini berarti pada garis bilangan meloncat 3x dengan
loncatan sejauh 5 satuan, hasil
loncatan tersebut kita periksa ternyata hasilnya 15. Dengan
mengulangi hasil percobaan seperti
ini, anak akan benar-benar memahami dengan pengertian yang
mendalam, bahwa perkalian
pada dasarnya merupakan penjumlahan berulang.
1.2. Dalil Notasi (Notation Theorem)
Menurut apa yang dikatakan dalam terorema notasi,
representasi dari sesuatu materi
matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila di
dalam representasi itu digunakan
notasi yang sesuai dengan tingkat perkembangan kognitif
siswa. Sebagai contoh, untuk siswa
sekolah dasar, yang pada umumnya masih berada pada tahap
operasi kongkret, soal berbunyi;
”Tentukanlah sebuah bilangan yang jika ditambah 3 akan
menjadi 8”, akan lebih sesuai jika
direpresentasikan dalam diberikan bentuk ... + 3 = 8 atau □
+ 3 = 8 atau a + 3 = 8
1.3. Dalil
Kekontrasan dan Variasi (Contrast and Variation Theorem)
Di dalam teorema kekontrasan dan variasi dikemukakan bahwa
sesuatu konsep
Matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila
konsep itu dikontraskan dengan
konsep-konsep yang lain, sehingga perbedaan antara konsep
itu dengan konsep-konsep yang
lain menjadi jelas. Sebagai contoh, pemahaman siswa tentang
konsep bilangan prima akan
menjadi lebih baik bila bilangan prima dibandingkan dengan
bilangan yang bukan prima,
menjadi jelas. Demikian pula, pemahaman siswa tentang konsep
persegi dalam geometri akan
menjadi lebih baik jika konsep persegi dibandingkan dengan
konsep-konsep geometri yang lain,
misalnya persegipanjang, jajarangenjang, belahketupat, dan
lain-lain. Dengan membandingkan
konsep yang satu dengan konsep yang lain, perbedaan dan
hubungan (jika ada) antara konsep
yang satu dengan konsep yang lain menjadi jelas.
1.4. Dalil
Konektivitas atau Pengaitan (Connectivity Theorem)
Di dalam teorema konektivitas disebutkan bahwa setiap
konsep, setiap prinsip, dan setiap
ketrampilan dalam matematika berhubungan dengan
konsep-konsep, prinsip-prinsip, dan
ketrampilan-ketrampilan yang lain. Adanya hubungan antara
konsep-konsep, prinsip-prinsip,
dan ketrampilan-ketrampilan itu menyebabkan struktur dari
setiap cabang matematika menjadi
jelas. Adanya hubungan-hubungan itu juga membantu guru dan
pihak-pihak lain (misalnya
penyusun kurikulum, penulis buku, dan lain-lain) dalam upaya
untuk menyusun program
pembelajaran bagi siswa.
Dalam pembelajaran matematika, tugas guru bukan hanya
membantu siswa dalam
memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip serta memiliki
ketrampilan-ketrampilan tertentu,
tetapi juga membantu siswa dalam memahami hubungan antara
konsep-konsep, prinsipprinsip,
dan ketrampilan-ketrampilan tersebut. Dengan memahami
hubungan antara bagian
yang satu dengan bagian yang lain dari matematika, pemahaman
siswa terhadap struktur dan
isi matematika menjadi lebih utuh.
Perlu dijelaskan bahwa keempat dalil tersebut di atas tidak
dimaksudkan untuk diterapkan
satu per satu seperti di atas. Dalam penerapan
(implementasi), dua dalil atau lebih dapat
diterapkan secara bersama dalam proses pembelajaran sesuatu
materi matematika tertentu.
Metode Penemuan
Satu hal menjadikan Bruner terkenal karena dia lebih peduli
terhadap proses belajar dari
pada hasil belajar. Oleh karena itu, menurut Bruner metode
belajar merupakan faktor yang
menentukan dalam pembelajaran dibandingkan dengan
pemerolehan khusus. Metode yang
sangat didukungnya yaitu metode penemuan (discovery).
Discovery learning dari Bruner, merupakan model pengajaran
yang dikembangkan
berdasarkan pada pandangan kognitif tentang pembelajaran dan
prinsip-prinsip konstruktivis. Di
dalam discovery learning siswa didorong untuk belajar sendiri
secara mandiri. Siswa belajar
melalui keterlibatan aktif dengan konsep-konsep dan
prinsip-prinsip dalam memecahkan
masalah, dan guru mendorong siswa untuk mendapatkan
pengalaman dengan melakukan
kegiatan yang memungkinkan siswa menemukan prinsip-prinsip
untuk diri mereka sendiri,
bukan memberi tahu tetapi memberikan kesempatan atau dengan
berdialog agar siswa
menemukan sendiri.
Pembelajaran tersebut membangkitkan keingintahuan siswa,
memotivasi siswa untuk
bekerja sampai menemukan jawabannya. Siswa belajar
memecahkan secara mandiri dengan
keterampilan berpikir sebab mereka harus menganalisis dan
memanipulasi informasi.
Penemuan yang dimaksud disini bukan penemuan
sungguh-sungguh, sebab apa yang
ditemukan itu sebenarnya sudah ditemukan orang. Jadi penemuan
di sini ialah penemuan purapura,
atau penemuan bagi siswa yang bersangkutan saja. Nampaklah,
bahwa Bruner sangat
menyarankan keaktifan anak dalam proses belajar secara
penuh. Lebih disukai lagi bila proses
ini berlangsung di tempat yang khusus, yang dilengkapi
dengan objek-objek untuk dimanipulasi
anak, misalnya laboratorium.
Dengan metode tersebut anak didorong untuk memahami suatu
fakta dan hubungannya
yang belum dia pahami sebelumnya, dan yang belum diberikan
kepadanya secara langsung
oleh orang lain. Adapun tahap-tahap Penerapan Belajar
Penemuan adalah sabagai berikut:
1.1. Stimulus ( pemberian perangsang/simuli); kegiatan
belajar di mulai dengan memberikan
pertanyaan yang merangsang berpikir siswa, menganjurkan dan
mendorongnya untuk
membaca buku dan aktivitas belajar lain yang mengarah pada
persiapan pemecahan
masalah;
1.2. Problem
Statement (mengidentifikasi masalah); memberikan kesempatan kepada siswa
untuk mengidentifikasi sebanyak mungkin masalah yang relevan
dengan bahan pelajaran
kemudian memilih dan merumuskan dalam bentuk hipotesa
(jawaban sementara dari
masalah tersebut);
1.3. Data collecton ( pengumpulan data); memberikan
kesempatan kepada para siswa untuk
mengumpulkan informasi yang relevan sebanyak-banyaknya untuk
membuktikan benar
atau tidaknya hipotesa tersebut;
1.4. Data Prosessing (pengolahan data); yakni mengolah data
yang telah diperoleh siswa
melalui kegiatan wawancara, observasi dll. Kemudian data
tersebut ditafsirkan;
1.5. Verifikasi, mengadakan pemerksaan secara cermat untuk
membuktikan benar tidaknya
hipotesis yang ditetapkan dan dihubungkan dengan hasil dan
processing;
1.6. Generalisasi, mengadakan penarikan kesimpulan untuk
dijadikan prinsip umum dan
berlaku untuk semua kejadian atau masalah yang sama dengan
memperhatikan hasil
verivikasi. (Muhibbin Syah,1995) dalam Paulina Panen (2003;
Hal.3.16).
Bagi guru matematika perlu mengetahui bahwa dalam metode
penemuan.
1.1. Yang dimaksud dengan ”penemuan sesuatu”, pada metode
penemuan, hanya belaku bagi
yang bersangkutan;
1.2. Pikirkan dengan mantap, konsep apa yang akan ditemukan
itu;
1.3. Tidak semua materi matematika dapat disajikan dengan
metode penemuan secara baik;
1.4. Metode penemuan memerlukan waktu relatif lebih banyak;
1.5. Supaya tidak mengambil kesimpulan terlalu pagi, berilah
banyak contoh-contohnya
sebelum siswa membuat kesimpulan;
1.6. Bila siswa mendapat kesukaran membuat generalisasinya
(kesimpulan), bantulah mereka.
Ingat pula bahwa mampu merumuskan sesuatu dengan bahasa yang
baik dalam
matematika memerlukan penguasaan bahasa yang tinggi. Bila
siswa tidak dapat mengerti
dengan salah satu penyajian penampilan penemuan gunakan
teknik lain;
1.7. Jangan mengharapkan semua siswa mampu menemukan setiap
konsep yang kita minta
untuk mencarinya;
1.8. Memperoleh generalisasi atau kesimpulan yang benar pada
metode penemuan ini adalah
hasil yang paling akhir; untuk mengetahui bahwa kesimpulan
kita itu benar kita harus
melakukan pemeriksaan/pengecekan;
1.9. Buatlah kegiatan sebagai aplikasi penemuan.
Langkah Penerapan Teori Belajar Bruner
Sebelum kita mengimplementasikan teori belajar Bruner dalam
pembelajaran matematika,
marilah kita terlebih dahulu mengetahui bagaimana
langkah-langkah penerapan dapat
dilakukan yaitu: (3.1.6)
1.1. Sajikan contoh dan bukan contoh dari konsep-konsep yang
anda ajarkan.
Misal : untuk contoh mau mengajarkan bentuk bangun datar
segiempat, sedangkan bukan
contoh adalah berikan bangun datar segitiga, segi lima atau
lingkaran.
1.2. Bantu siswa untuk melihat adanya hubungan antara
konsep-konsep.
Misalnya berikan pertanyaan kepada siswa seperti berikut ini
” apakah nama bentuk ubin
yang sering digunakan untuk menutupi lantai rumah? Berapa cm
ukuran ubin-ubin yang
dapat digunakan?
1.3. Berikan satu pertanyaan dan biarkan biarkan siswa untuk
mencari jawabannya sendiri.
Misalnya Jelaskan ciri-ciri/ sifat-sifat dari bangun Ubin
tersebut?
1.4. Ajak dan beri semangat siswa untuk memberikan pendapat
berdasarkan intuisinya. Jangan
dikomentari dahulu jawaban siswa, gunakan pertanyaan yang
dapat memandu siswa untuk
berpikir dan mencari jawaban yang sebenarnya. (Anita dalam
Panen, 2003)
2. TEORI
PERKEMABANGAN INTELEKTUAL PIAGET (teori dukung 3.1.1+2)
Jean Piaget berpendapat bahwa proses berpikir manusia
sebagai suatu perkembangan
yang bertahap dari berpikir intelektual konkret ke abstrak
berurutan melalui empat periode.
Urutan periode itu tetap bagi setiap orang, namun usia atau
kronologis pada setiap orang yang
memasuki setiap periode berpikir yang lebih tinggi
berbeda-beda tergantung kepada masingmasing
individu.
Piaget adalah orang pertama yang menggunakan filsafat
konstruktivis dalam proses
belajar mengajar. Piaget (dalam Bell, 1981), berpendapat
bahwa proses berpikir manusia
merupakan suatu perkembangan yang bertahap dari berpikir
intelektual kongkret ke abstrak
berurutan melalui empat tahap perkembangan, sebagai berikut:
2.1. Periode Sensori Motor (0 – 2) tahun. Karateristik
periode ini merupakan gerakan-gerakan
sebagai akibat reaksi langsung dari rangsangan. Rangsangan
itu timbul karena anak melihat
dan merab-raba objek. Anak itu belum mempunyai kesadaran
adanya konsep objek yang tetap.
Bila objek itu disembunyikan, anak itu tidak akan mencarinya
lagi. Namun karena
pengalamannya terhadap lingkungannya, pada akhir periode
ini, anak menyadari bahwa objek
yang disembunyikan tadi masih ada dan ia akan mencarinya.
2.2. Periode Pra-operasional (2 – 7) tahun. Operasi yang
dimaksud di sini adalah suatu
proses berpikir atau logik, dan merupakan aktivitas mental,
bukan aktivitas sensori motor. Pada
periode ini anak di dalam berpikirnya tidak didasarkan
kepada keputusan yang logis melainkan
didasarkan kepada keputusan yang dapat dilihat seketika.
Periode ini sering disebut juga
periode pemberian simbol, misalnya suatu benda diberi nama
(simbol). Pada periode ini anak
terpaku kepada kontak langsung dengan lingkungannya, tetapi
anak itu mulai memanipulasi
simbol dari benda-benda sekitarnya. Walaupun pada periode
permulaan pra-operasional ini
anak mampu menggunakan simbol-simbol, ia masih sulit melihat
hubungan-hubungan dan
mengambil kesimpulan secara taat asas.
3.3. Periode operasi kongkret (7 – 12) tahun.
Periode ini disebut operasi kongkret sebab berpikir logiknya
didasarkan atas manipulasi
fisik dari objek-objek. Operasi kongkret hanyalah
menunjukkan kenyataan adanya hubungan
dengan pengalaman empirik-kongkret yang lampau dan masih
mendapat kesulitan dalam
mengambil kesimpulan yang logis dari pengalaman-pengamanan
yang khusus. Pengerjaanpengerjaan
logika dapat dilakukan dengan berorientasi ke objek-objek
atau peristiwa-peristiwa
yang langsung dialami anak. Dalam periode operasi kongkret,
karakteristik berpikir anak adalah
sebagai berikut:
Kombinasivitas atau klasifikasi adalah suatu operasi dua kelas
atau lebih yang
dikombinasikan ke dalam suatu kelas yang lebih besar. Anak
dapat membentuk variasi relasi
kelas dan mengerti bahwa beberapa kelas dapat dimasukkan ke
kelas lain. Misalnya semua
manusia lelaki dan semua manusia wanita adalah semua manusia.
Hubungan A > B dan B > C
menjadi A > C.
Reversibilitas adalah operasi kebalikan. Setiap operasi
logik atau matematik dapat
dikerjakan dengan operasi kebalikan. Misalnya, 5 + ? = 9
sama dengan 9 – 5 = ? Reversibilitas
ini merupakan karakteristik utama untuk berpikir operasional
di dalam teori Piaget
Asosiasivitas adalah suatu operasi terhadap beberapa kelas
yang dikombinasikan menurut
sebarang urutan. Misalnya himpunan bilangan bulat, operasi
”+”, berlaku hukum asosiatif
terhadap penjumlahan. Identitas adalah suatu operasi yang
menunjukkan adanya unsur nol
yang bila dikombinasikan dengan unsur atau kelas hasilnya
tidak berubah. Misalnya dalam
himpunan bilangan bulat dengan operasi ”+”, unsur nol adalah
0 sehingga 8 + 0 = 8. Demikian
juga suatu jumlah dapat dinolkan dengan mengkombinasikan
lawannya, misalnya 4 – 4 = 0.
Korespondensi satu – satu antara objek-objek dari dua kelas.
Misalnya unsur dari suatu
himpunan berkawan dengan satu unsur dari himpunan kedua dan
sebaliknya.
Kesadaran adanya prinsip-prinsip konservasi. Konservasi
berkenaan dengan kesadaran
bahwa satu aspek dari benda, tetap sama sementara itu aspek
lainnya berubah. Namun prinsip
konservasi yang dimiliki anak pada periode ini masih belum
penuh. Anak pada periode ini
dilandasi oleh observasi dari pengalaman dengan objek nyata,
tetapi ia sudah mulai
menggeneralisasi objek-objek tadi.
3.4. Periode Operasi
Formal (> 12) tahun.
Periode operasi formal ini disebut juga periode operasi
hipotetik-deduktif yang merupakan
tahap tertinggi dari perkembangan intelektual. Anak-anak
pada periode ini sudah memberikan
alasan dengan menggunakan lebih banyak simbul atau gagasan
dalam cara berpikir. Anak
sudah dapat mengoperasikan argumen-argumen tanpa dikaitkan
dengan benda-benda empirik.
Ia mampu menggunakan prosedur seorang ilmuwan, yaitu
menggunakan posedur hipotetikdeduktif.
Anak mampu menyelesaikan masalah dengan cara yang lebih baik
dan kompleks dari
pada anak yang masih dalam tahap periode operasi kongkret.
Konsep konservasi telah tercapai sepenuhnya. Anak sudah
mampu menggunakan
hubungan-hubungan di antara objek-objek apabila ternyata
manipulasi objek-objek tidak
memungkinkan. Anak telah mampu melihat hubungan-hubungan
abstrak dan menggunakan
proposisi-proposisi logik-formal termasuk aksioma dan
definisi-definisi verbal. Anak juga sudah
dapat berpikir kombinatorik, artinya bila anak dihadapkan
kepada suatu masalah, ia dapat
mengisolasi faktor-faktor tersendiri atau mengkombinasikan
faktor-faktor itu sehingga menuju
penyelesaian masalah tadi.
Menurut Piaget, tahap-tahap berpikir itu adalah pasti dan
spontan namun umur kronolois
yang diberikan itu adalah fleksibel, terutama selama
transisi dari periode yang satu ke periode
berikutnya. Umur kronologis itu dapat saling tindih
bergantung kepada individu. Piaget
berpendapat, tidak ada gunanya bila kita memaksa anak untuk
cepat berpindah ke periode
berikutnya.
3. TEORI BELAJAR
DIENES (teori dukung 3.1.1 + 2)
Dienes (dalam Ruseffendi, 1992) berpendapat bahwa pada
dasarnya matematika dapat
dianggap sebagai studi tentang struktur, memisah-misahkan
hubungan-hubungan di antara
struktur-struktur dan mengkategorikan hubungan- hubungan di
antara struktur-struktur. Seperti
halnya dengan Bruner, Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap
konsep atau prinsip dalam
matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan
dapat dipahami dengan baik. Ini
mengandung arti bahwa jika benda-benda atau objek-objek
dalam bentuk permainan akan
sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam
pengajaran matematika.
Menurut Dienes (dalam Ruseffendi, 1992:125-127),
konsep-konsep matematika akan berhasil
jika dipelajari dalam tahap-tahap tertentu. Dienes membagi
tahap-tahap belajar menjadi tahap,
yaitu
3.1. Permainan Bebas (Free Play)
Dalam setiap tahap belajar, tahap yang paling awal dari
pengembangan konsep bermula
dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan tahap
belajar konsep yang aktivitasnya
tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Anak didik diberi
kebebasan untuk mengatur benda.
Selama permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini
anak mulai membentuk struktur
mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan diri untuk
memahami konsep yang sedang
dipelajari. Misalnya dengan diberi permainan block logic,
anak didik mulai mempelajari konsepkonsep
abstrak tentang warna, tebal tipisnya benda yang merupakan
ciri/sifat dari benda yang
dimanipulasi.
3.2. Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)
Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai
meneliti pola-pola dan keteraturan
yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan ini mungkin
terdapat dalam konsep tertentu
tapi tidak terdapat dalam konsep yang lainnya. Anak yang
telah memahami aturan-aturan tadi.
Jelaslah, dengan melalui permainan siswa diajak untuk mulai
mengenal dan memikirkan
bagaimana struktur matematika itu. Makin banyak
bentuk-bentuk berlainan yang diberikan
dalam konsep tertentu, akan semakin jelas konsep yang
dipahami siswa, karena akan
memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam
konsep yang dipelajari itu.
3.3. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)
Dalam mencari kesamaan sifat siswa mulai diarahkan dalam
kegiatan menemukan sifatsifat
kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih
dalam mencari kesamaan
sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan
menstranslasikan kesamaan struktur dari
bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh
mengubah sifat-sifat abstrak yang ada
dalam permainan semula. Contoh 3.1.6 kegiatan yang diberikan
dengan permainan block logic,
anak dihadapkan pada kelompok persegi dan persegi panjang
yang tebal, anak diminta
mengidentifikasi sifat-sifat yang sama dari benda-benda
dalam kelompok tersebut (anggota
kelompok).
3.4. Permainan Representasi (Representation)
Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa
situasi yang sejenis. Para siswa
menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu. Setelah
mereka berhasil menyimpulkan
kesamaan sifat yang terdapat dalam situasi-situasi yang
dihadapinya itu. Representasi yang
diperoleh ini bersifat abstrak, Dengan demikian telah
mengarah pada pengertian struktur
matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep
yang sedang dipelajari. Contoh
kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal.
3.5. Permainan dengan
Simbolisasi (Symbolization)
Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan
kemampuan merumuskan
representasi dari setiap konsep-konsep dengan menggunakan
simbol matematika atau melalui
perumusan verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari
banyaknya diagonal dengan
pendekatan induktif tersebut, kegiatan berikutnya menentukan
rumus banyaknya diagonal
suatu poligon yang digeneralisasikan dari pola yang didapat
anak.
4. Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD (teori
dukung 3.1.3 + 4 + 6)
Dalam pembelajaran matematika SD, agar bahan pelajaran yang
diberikan lebih mudah
dipahami oleh siswa, diperlukan bahan-bahan yang perlu
disiapkan guru, dari barang-barang
yang harganya relatif murah dan mudah diperoleh, misalnya
dari karton, kertas, kayu, kawat,
kain untuk menanamkan konsep matematika tertentu sesuai
dengan keperluan.
4.1. Bahan Manipulatif dari Kertas
Manfaat dari bahan manipulatif kertas/karton ini antara lain
untuk menjelaskan pecahan
(konsep, sama/senilai, operasi). Konsep pecahan m/n sebagai
m bagian dari n bagian yang
sama. Guru dapat mendemonstrasikan, atau dipraktekkan oleh
siswa dengan menggunakan
berbagai macam bangun geometri, misalnya persegi, persegi
panjang, lingkaran, dll. Contoh
3.1.4
¼ ½ 1/5 ¼
4.2. Model Stik
Model ini dapat digunakan untuk menjelaskan konsep satuan,
puluhan, dan ratusan untuk
siswa SD kelas rendah. Lidi-lidi tersebut dalam bentuk lepas
(satuan), bentuk ikatan
(sepuluhan) dan bentuk ikatan dari ikatan sepuluhan
(seratusan). Model-model stik ini dapat
digunakan untuk menjelaskan konsep numeral (lambang
bilangan), kesamaan bilangan, dan
operasi bilangan bulat.
4.3. Model Persegi dan Strip dari kayu/tripleks
Model ini terdiri dari potongan-potongan persegi
kayu/tripleks, strip-strip sepanjang sepuluh
persegi, dan daerah seluas sepuluh strip. Kegunaan model
persegi dan strip serupa dengan
kegunaan model stik, yaitu untuk menjelaskan konsep numeral,
kesamaan bilangan, dan
operasi bilangan bulat.
4.5. Model Kertas bertitik / berpetak
Model ini dapat digunakan untuk menjelaskan banyak hal yang
terkait dengan geometri
(bangun datar dan sifat-sifatnya, hubungan antar bangun
datar, dan luas bangun datar).
Berbagai posisi datar, tegak, miring bangun datar (
segitiga, persegi, persegi panjang, jajar
genjang, belah ketupat, laying-layang dan trapezium) dapat
diperagakan dengan kertas bertitik.
Dengan perkembangan ketersediaan bahan saat ini, dapat
digunakan white board.
Latihan – 1
1. Rencanakan pembelajaran suatu konsep matematika dengan
menggunakan salah satu
teori belajar yang anda ketahui ! (terapan 3.1.1 + 2)
2. Pilih konsep matematika yang anda kuasai, kemudian
gunakan bahan manipulative untuk
menyampaikan konsep tersebut ! (terapan 3.1.3+4+6)
Materi Pelatihan – 2
BILANGAN
1. Konsep Bilangan (teori 4.1)
Anggota dari himpunan-himpunan {a}, {1}, {0}, {#}, dan {@},
dapat dikorespondensikan 1 – 1
untuk tiap-tiap pasang himpunan-himpunan itu.
Himpunan-himpunan itu dikatakan himpunan
yang ekivalen. Banyaknya anggota dalam himpunan itu disebut
bilangan kardinal.
Selanjutnya konsep bilangan mengacu pada kardinalitas dari
suatu himpunan. Misalnya; { }, {a},
{a,b}, {a,b,c}, ….., maka kardinalitas dari
himpunan-himpunan tersebut adalah; 0, 1, 2, 3, ………
Pelatihan pada bilangan bulat
1.1.Bahan yang Diperlukan
Tali dan alat tulis
1..2. Uraian Kegiatan
Gunakan tali untuk meragakan garis bilangan bulat, seperti
gambar berikut:
Gambar 1
Untuk menandai titik yang terkait dengan suatu bilangan
dapat dibuat simpul atau penanda
lain. Sedangkan angkanya dapat ditulis atau menggunakan
kartu bilangan.
Garis bilangan tersebut akan digunakan untuk menentukan
jumlah atau selisih dua
bilangan bulat. Untuk memaknai penjumlahan dan pengurangan
bilangan bulat dibuat
kesepakatan berikut:
+ , sebagai operasi penjumlahan, dibaca diteruskan
- , sebagai operasi pengurangan, dibaca balik kanan
+, sebagai tanda bilangan, dibaca maju. Contoh +3 dibaca
maju 3 langkah
-, sebagai tanda bilangan, dibaca mundur. Contoh -3 dibaca
mundur 3 langkah
Berikut disajikan contoh pengoperasian bilangan bulat:
Contoh 4.1.1
1.1. 3 + 5 dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, diteruskan
maju 5 langkah.
1.2. 3 + (-7) dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0,
diteruskan mundur 7 langkah.
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
1.3 -5 + 5 dibaca mundur 5 langkah, dimulai dari 0,
diteruskan maju 5 langkah.
1.4. -4 + (-2) dibaca mundur 4 langkah, dimulai dari 0,
diteruskan mundur 2
langkah.
1.5. 3-5 dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, balik kanan
maju 5 langkah.
1.6. 3 - (-7) dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, balik
kanan mundur 7 langkah.
1.7. -5-5 dibaca mundur 5 langkah, dimulai dari 0, balik
kanan maju 5 langkah.
1.8. -4 - (-2) dibaca mundur 4 langkah, dimulai dari 0,
balik kanan mundur 2 langkah.
Hasil dari penjumlahan atau pengurangan tersebut adalah
bilangan yang ditunjukkan
oleh tempat terakhir dari kegiatan tersebut.
2. Berikut akan dibahas tentang operasi bilangan. Teori
4.1.1
Operasi biner, pada himpunan bilangan real adalah fungsi
yang memasangkan setiap
pasang bilangan real dengan suatu bilangan real, secara
tunggal. Operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian adalah operasi biner.
Jadi untuk melakukan operasioperasi
tersebut diperlukan sepasang (dua) bilangan real, sedangkan
hasil pengoperasiannya
juga bilangan real (tunggal).
2.1. Penjumlahan dan Pengurangan
Jumlah dua bilangan real a dan b adalah c dinyatakan dengan
a + b = c, dibaca a tambah b
sama dengan c. a dan b masing-masing disebut suku
(penjumlahan), c disebut jumlah a dan b
atau hasil penjumlahan a dan b.
Penjumlahan pada himpunan bilangan real mempunyai
sifat-sifat berikut;
2.1.1. Untuk setiap a dan b berlaku a + b - b + a (sifat
komutatif atau pertukaran)
2.1.2. Ada 0 untuk setiap a, sedemikian hingga a + 0 = a (0
adalah unsur identitas penjumlahan)
2.1.3. Untuk setiap a ada lawan a yaitu -a hingga berlaku u
+ (-a) = 0
2.1.4. Untuk setiap a, b, dan c berlakulah (a + b) + c = a +
(b + c) (sifat asosiatif atau
pengelompokan)
Selisih dua bilangan real a dan b adalah c dinyatakan dengan
a – b = c, dibaca a dikurangi
b sama dengan c. Hasil dari a — b sama dengan jumlah a dan
lawan b, yang dinyatakan
dengan a - b = a + (- b), a adalah bilangan yang dikurangi,
b adalah pengurang, c disebut
selisih atau hasil pengurangan a oleh b.
2.2. Perkalian dan Pembagian
Perhatikan gambar berikut:
Berapa banyak gambar bintang pada gambar – 1? Bagaimana cara
Anda
memperolehnya? Banyak gambar bintang pada gambar– 1 adalah 6
yang dapat diperoleh dari 3
+ 3.
3 + 3 dapat ditulis dalam bentuk perkalian, yaitu 2 x3 .
Cara lain untuk memperolehnya adalah 2 + 2
+ 2+ 2 + 2 + 2 dapat ditulis dalam bentuk perkalian, yaitu 3
* 2. Secara umum dapat ditulis :
Gambar – 1
a x b = b + b + b + … + b
a
Pada a*b = c, a dan b disebut faktor sedangkan c disebut
hasil kali a dan b. Perkalian pada
himpunan bilangan real mempunyai sifat-sifat berikut;
2..2.1. Untuk setiap a dan b berlaku a* b = b* a (sifat
komutatif atau pertukaran)
2.2.2. Ada 1 untuk setiap a, sedemikian hingga a x 1 = a (1
adalah unsur identitas perkalian)
2..2.3. Untuk setiap a ada kebalikan a yaitu 1/a hingga
berlaku a x 1/a = 1
2.2.4. Untuk setiap a, b, dan c berlaku ( a*b)*c = a*(b*c)
(sifat asosiatif
atau pengelompokan)
2.2.5 Untuk setiap a, b, dan c berlaku a*(b + c) = (a * b) +
(a * c) (sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan) (teori 4.1.2)
3. Representasi Bilangan
1.1. Desimal
Kata desimal berasal dari Bahasa Latin decem yang artinya
sepuluh. Sistem numerasi
desimal adalah sistem numerasi yang berbasis sepuluh,
artinya bilangan 10 dipakai sebagai
acuan pokok dalam melambangkan dan menyebut bilangan.
Beberapa sifat sistem decimal :
1.1.1. Menggunakan 10 digit, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, dan 9
1.1.2. Lambang bilangan 0 – 9 mempunyai lambing yang sama
dengan lambang angka
1.1.3. Bilangan-bilangan yang lebih dari 9 dinyatakan
sebagai suku-suku penjumlahan
perpangkatan dari 10.
1.1.4. Bersifat aditif
1.1.5. Bersifat posisional
Contoh :
356 = 3x100 + 5x10 + 6
2749 = 2x106 + 7x102 + 4x10 + 9
¼ = 0,25 atau 0,2500…..
⅓ = 0,333…… atau 0,3
0,016 = 1,6 x 10–2
1.2. Persen
Persen adalah nama lain dari perseratusan, sehingga kata
persen dapat digunakan untuk
mengganti kata perseratus.
Misalnya pecahan ¼ dapat dinyatakan 25/100, dan dalam bentuk
desimal ditulis 0,25,
keduanya dibaca yaitu dua puluh lima perseratus atau 25
persen ditulis 25%.
2. Membandingkan Bilangan Bulat
Untuk membandingkan bilangan bulat digunakan tanda = (sama
dengan), < (kurang dari), >
(lebih dari).
Jika suatu bilangan sama dengan bilangan lain, maka pada
garis bilangan letaknya berimpit
dengan bilangan lain. Jika suatu bilangan lebih dari
bilangan lain, maka bilangan tersebut
berada di sebelah kanan bilangan lain. Jika suatu bilangan
kurang dari bilangan lain,maka
bilangan tersebut berada di sebeleh kiri bialangan lain.
Latihan – 2 (contoh ini kurang 4.1.1)
Kerjakan soal berikut dengan cermat.
1. Ambilah 3 sembarang bilangan bulat ! dari
bilangan-bilangan itu kemudian ;
a. Bandingkan bilangan yang satu dengan yang lainnya, serta
gambarkan pada garis
bilangan ! (contoh 4.2.3)
b. Buatlah masing-masing 2 contoh sifat asosiatif perkalian
dan pembagian!
c. Buatlah masing-masing 2 contoh sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan dan
distributif perkalian terhadap pengurangan! (4.1.2)
2. Ambillah beberapa bilangan pecahan, kemudian nyatakan
dalam bentuk desimal dan
pecahan !
3. Buatlah contoh masalah yang menunjukkan pembagian pecahan
oleh pecahan ! (contoh
4.2.2)
Materi Pelatihan – 3
POLA, RELASI, DAN
FUNGSI
1. Pola Bilangan (teori 4.3)
Pada bahasan ini, saudara diajak untuk memahami berbagai
macam pola bilangan, serta
cara mengenalkannya kepada siswa.
1.1. Pola bilangan ganjil
Bilangan ganjil adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi
dua.
Contoh : 3,5,7,9,11,…..adalah bilangan ganjil, sebab tidak
habis dibagi dua, karena jika dibagi
dua menghasilkan sisa satu.
Dengan kata lain bilangan ganjil dapat ditulis dalam bentuk
2k + 1, dimana k adalah bilangan
cacah.
1.2. Pola bilangan genap
Bilangan genap adalah bilangan asli yang habis dibagi dua
Contoh : 4,6,8,10,…….adalah bilangan genap, sebaba habis
dibagi dua, atau jika dibagi dua
sisanya nol.
Dengan kata lain bilangan genap dapat ditulis dalam bentuk
2k, dimana k adalah bilangan
cacah
1.3. Pola barisan bilangan
Deretan bilangan-bilangan dikatakan mempunyai pola barisan
bilangan jika tiga bilangan yang
berurutan mempunyai selisih atau rasio yang sama antara dua
bilangan yang berdekatan.
Contoh : 1, 4, 7, 10, 13, …. dan 2, 4, 8, 16, 32,
……merupakan pola barisan bilangan, karena
1, 4, 7, 10, 13, ……mempunyai selisih yang sama antara dua
bilangan yang berdekatan.
Sedangkan 2, 4, 8,16, 32, …. mempunyai rasio yang sama.
2. Relasi
Istilah “relasi” dapat diartikan “hubungan” yang sering kita
dengar, misalnya hubungan “ayah”
dengan “anak”, hubungan “guru” dengan “murid”, dan
sebagainya.
Untuk mendefinisikan suatu relasi R diperlukan : (1) suatu
himpunan A, (2) suatu himpunan B,
dan (3) suatu aturan atau kalimat matematika terbuka. Relasi
dapat disajikan dalam diagram
panah.
Contoh :
digram panah relasi “nomor sepatunya”
Relasi, selain dinyatakan dalam diagram panah juga dapat disajikan
dalam bentuk pasangan
terurut, seperti berikut ini :
2.1. R = {(1,2),(2,4),(3,6)} merupakan relasi “setengah
dari”
2.2. T = {(2,4), (3,9), (4,16)} merupakan relasi “akar dari”
Elemen-elemen pertama dari pasangan terurut R disebut domain
(daerah asal), sedangkan
elemen-elemen kedua dari pasangan terurut R disebut range
(daerah hasil)
3. Fungsi
Seperti halnya relasi maka untuk mendefinisikan suatu fungsi
diperlukan tiga hal pula, yaitu; (1)
himpunan A, (2) himpunan B, dan (3) suatu kalimat terbuka yang
juga disebut aturan yang
mengaitkan tiap elemen x Є A dengan suatu elemen tunggal y Є
B
Contoh :
(a) (b) (c) (d)
Dari gambar -2 diatas terlihat bahwa, gambar :
(a) Bukan fungsi, karena ada sebuah unsur dari A yang tidak
mempunyai pasangan pada B
(b) Bukan fungsi, karena ada sebuah unsur dari A yang
berpasangan dengan dua unsur dari B
(c) Fungsi, karena setia unsure dari A dipasangkan dengan
tepat satu anggota dari B
(d) Fungsi, karena setia unsure dari A dipasangkan dengan
tepat satu anggota dari B
Ahmad Badu Eny 37 38 39 40 41
Gambar – 1
Definisi : Relasi R dengan suatu kalimat terbuka dari
himpunan A ke
himpunan B adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya
semua
pasangan terurut (x,y) dengan x Є A dan y Є B sedemikian
rupa sehingga
kalimat terbukanya menjadi bernilai benar
Definisi : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap anggota dari A dengan tepat satu
anggota dari B.
Hal ini ditulis :
f : A B
Gambar – 2
Latihan – 3
1. Lanjutkan pola bilangan berikut sampai suku ke 10 :
(indikator 4.3.1)
a. 1, 4, 9, 16, …………
b. 8, 4, 2, 1, …………
c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, ………….
2. Tentukan relasi dari pasangan terurut berikut :
{(1,1),(2,4),(3,9)}
3. Berikan contoh relasi dan fungsi yang menyatakan kejadian
dalam kehidupan sehari-hari
(minimal 3 contoh) (4.3.2 belum ada)
Materi Pelatihan – 4
PENGUKURAN dan
GEOMETRI
(TEORI 4.4)
Hasil dari pengukuran bukan merupakan sesuatu yang tepat,
melainkan hanya suatu
pendekatan. Misalkan. Rina berdiri di depan kelas dan Ibu
guru akan mengukur tinggi badan
Rina. Pada saat Ibu guru mengukur dengan menggunakan
penggaris kayu tinggi badan Rina
adalah 150 cm, tetapi setelah diukur dengan menggunakan
pengukur tinggi badan ternyata
tinggi badan Rina adalah 148 cm. Kegiatan mengukur yang
dilakukan Ibu guru pada Rina selain
menggunakan penggaris kayu, pengukur tinggi badan dapat juga
menggunakan jengkal tangan.
Pada dasarnya banyak sekali pengukuran yang dilakukan yaitu
pengukuran panjang,
pengukuran berat, pengukuran waktu, pengukuran luas,
pengukuran keliling dan lain-lain.
Dalam modul ini hanya akan dibahas 2 pengukuran saja yaitu
pengukuran panjang dan
pengukuran luas.
4.1. Pengukuran Panjang
Panjang suatu benda adalah banyak satuan panjang yang
terdapat pada benda tersebut.
Jadi untuk menyatakan panjang diperlukan satuan panjang.
Satuan panjang ada yang tidak
baku dan ada yang baku. Contoh satuan panjang yang tidak
baku adalah: jengkal, depa, hasta,
kaki, langkah, set ik, dan manik-manik. Contoh satuan
panjang yang baku adalah: cm, m, dan
km.
Penggunaan satuan panjang tersebut sangat bergantung pada
keperluan, misal: seseorang
yang mengukur meja. Bila dia mengukur dengan satuan tidak
baku, mungkin akan
menggunakan depa, jengkal, atau langkah. Jarang orang yang
mengukur panjang meja dengan
hasta, j ika orang tersebut mengukur panjang meja dengan
satuan baku maka dia akan
menggunakan satuan cm atau m, bukan km.
Dengan pertolongan satuan panjang, baik pengukuran dalam
bentuk baku maupun tidak baku,
bila dua benda yang dibandingkan panjangnya tidak dapat
diimpitkan, orang akan mengukur
panjang kedua benda tersebut menggunakan satuan panjang.
Satuan panjang yang digunakan
dapat berupa satuan panjang yang tidak baku maupun yang
baku. Berdasarkan hasil yang
diperoleh dari kegiatan mengukur, orang membandingkan
panjang kedua benda.
Berikut disajikan beberapa hal yang terkait dengan panjang
4.1.1. Dony ingin berlibur ke Malang dengan menggunakan
kereta api. Jarak kota Surabaya ke
Malang adalah 134 km
Gambar 1
4.1.2. Agus mempunyai hobby bermain layang-layang. Setiap
akan memainkan layangannya,
dia memperhitungkan panjang benang yang dibutuhkan supaya
tinggi layang-layang
maksimal. Agus memperhitungkan, dia membutuhkan 20 meter
Jika seseorang akan membandingkan panjang dua benda, ada
beberapa cara yang dapat
digunakannya. Berikut disajikan cara-cara yang mungkin
digunakan orang untuk
membandingkan tinggi dua benda.
Gambar 3.a Gambar 3.b
Gambar 2.a adalah membandingkan tinggi tabung dengan cara
melihat. Sedangkan
gambar 2.b adalah membandingkan tinggi tabung dengan cara
disejajarkan.
Anda dapat mengatakan bahwa keliling suatu bangun datar
adalah jarak yang anda
tempuh bila anda mengitari bangun tersebut. Dengan demikian
dapat dikatakan bahwa keliling
suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang
sisi-sisinya.
Contoh 1:
Perhatikan gambar bangun datar berikut ini!
Sekarang marilah kita mengingat kembali rumus keliling
bangun-bangun datar, yang telah anda
kenal.
4.1.1. SEGITIGA
Gambar – 2.a
Gambar – 2b
Amatilah sifat-sifat bangun datar
disamping
Sifat-sifat bangun datar di samping adalah
sbb;
- Bangun ABCD adalah persegi panjang
- Mempunyai empat buah sisi
- Sisi-sisinya yang berhadapan sama
panjang, yaitu AD=BC, AB = DC
- Keempat pojoknya berbentuk siku-siku
A B
D C
Amatilah sifat-sifat bangun datar
disamping
- Bangun KLMN adalah persegi
- Keempat sisinya sama panjang
yaitu KL = LM = MN = NK
- Keempat pojoknya berbentuk siku-siku
K L
N M
Gambar di samping adalah gambar segiliga yang panjang
sisi-sisinya berturut-turut a satuan panjang, b satuan
panjang,
dan r satuan panjang. Jika K satuan panjang menyalakan
keliling segiliga, maka:
4.1.2. PERSEGIPANJANG
Misalkan kita mengukur keliling dari sebuah foto. Kita bisa
mengukur dengan menggunakan
penggaris pada tiap sisinya.
Foto diatas berbentuk persegipanjang. Gambar 5, menunjukkan
foto yang digambar menurut
sisi-sisinya.
atau
Jika K menyatakan keliling persegipanjang, p menyatakan
panjang persegipanjang dan l
adalah lebar persegi panjang maka keliling persegi panjang
dapat dinyatakan:
4.1.3. PERSEGI
Gambar 6 dibawah ini menunjukkan gambar ubin yang berbentuk
persegi.
Gambar 6
Gambar 7 menunjukkan ubin yang digambar menurut sisinya
Panjang setiap sisi persegi adalah sama. Jika K menyatakan
keliling persegi, s adalah panjang
sisi persegi, maka keliling persegi dapat dinyatakan:
l
l
p
K = 2 (p + l )
s
K = 4 x s
K = a + b + c
Gambar – 4
Gambar – 5
Gambar – 6 Gambar – 7
p
4.1.3. LINGKARAN
Gambar 8 adalah gambar lingkaran dengan panjang jari-jari r
satuan panjang.
Misal K adalah keliling lingkaran, dan r adalah jari-jari
lingkaran, maka:
Karena diameter (garis tengah) lingkaran, d, sama dengan 2 r
maka K dapat juga dinyatakan
sebagai:
Nilai diperoleh dari pembagian keliling lingkaran dengan
diameter atau jari-jari lingkaran. Nilai
yang diperoleh masing-masing siswa pasti tidak sama. Tapi
telah disepakati bahwa nilai =
3.14 atau =
4.2. Pengukuran Luas
Luas suatu benda adalah banyak satuan luas yang
"tepat" dapat menutup benda tersebut.
Jadi untuk menyatakan luas diperlukan satuan luas. Seperti
halnya satuan panjang, satuan
luas juga ada yang tidak baku dan ada yang baku. Contoh
satuan luas yang tidak baku
adalah: buku, eternit, dan tegel. Contoh satuan luas yang
baku adalah: cm2, m2, dan are.
Pada matematika, yang dimaksud luas suatu bangun datar
adalah luas daerah yang
dibatasi oleh bangun datar tersebut. Contoh: yang dimaksud
dengan luas segitiga adalah luas
daerah yang dibatasi oleh bangun segitiga. Sedangkan luas bangun
ruang adalah luas
seluruh permukaan bangun ruang tersebut. Contoh: luas kubus
adalah jumlah luas seluruh
persegi yang menjadi sisi kubus. Karena luas bangun ruang
terkait dengan luas bangun datar,
maka pada kesempatan kali ini yang akan dibahas adalah luas
bangun datar saja.
Ada beberapa bangun datar yang kita kenal, di antaranya
adalah: segitiga, persegi,
persegipanjang, trapesium. Setiap bangun tersebut mempunyai
rumus luas sendiri-sendiri.
Pada kesempatan kali ini tidak semua rumus luas bangun datar
dibahas. Luas bangun datar
yang dibahas hanya luas persegi panjang, karena luas bangun
datar yang lain dapat
ditentukan berdasarkan luas persegi panjang.
Untuk itu, perhatikan gambar berikut:
K = 2 x x r
K = x d
Gambar – 8
.
r
Berapa luas persegi panjang tersebut? Untuk dapat menjawab
pertanyaan ini bergantung pada
satuan luas yang dipakai. Bila satuan luas yang dipakai
untuk menentukan luas persegi panjang
tersebut adalah persegi panjang berikut
Maka luas persegipanjang pada Gambar 9 diperoleh dengan
membilang banyak persegipanjang
pada Gambar 10 yang tepat dapat menutup seluruh permukaan
yang dibatasi oleh
persegipanjang di Gambar 9. Untuk itu dapat dilihat Gambar
11.
Dari Gambar 11 terlihat bahwa ada 40 persegipanjang pada
Gambar 10 yang "tepat" menutup
seluruh permukaan yang dibatasi oleh persegi panjang pada
(gambar 9. Hal ini dikatakan bahwa
luas persegipanjang di Gambar 9 sama dengan 40
persegipanjang di Gambar 10. Dalam hal ini
persegi-panjang di Gambar 10 merupakan satuan luas yang
digunakan untuk menentukan luas
persegipanjang di Gambar 9.
Jika kita menggunakan satuan luas yang baku, maka luas
persegipanjang didapatkan rumus
Luas lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan rumus:
4.3. Pengukuran Volume
Volum suatu benda adalah banyak satuan volum yang
"tepat" terdapat dalam benda
tersebut, jadi untuk menyatakan volum diperlukan satuan
volum. Volum bangun ruang adalah
volum ruang yang dibatasi oleh bangun ruang tersebut.
Contoh: volum kubus adalah volum
ruang yang dibatasi oleh sisi-sisi kubus. Seperti halnya
luas, satuan volum juga ada yang tidak
baku dan ada yang baku. Contoh satuan volum yang tidak baku
adalah: gelas, cangkir, dan
botol. Contoh satuan volum yang baku adalah: cm3, m3 dan
liter.
Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam persegi
yang kongruen.
L = l x p
K =
E
D
A
C
B
H G
F
Gambar – 9
Gambar – 10
Gambar – 12
Gambar – 11
Kubus pada gambar 12 diberi nama ABCD. EFGH atau
EFGH
ABCD
.
Volume Kubus
(a) (b)
Pada gambar (13a), tampak kubus satuan. Pada gambar (13b)
tampak kubus yang memiliki
panjang rusuk 3 satuan panjang. Volume kubus (13b) = ( 3x3x3
) satuan volume = 27 satuan
volume.
Dengan demikian, volume kubus (V) yang memiliki panjang
rusuk a dirumuskan sebagai
berikut:
Keterangan:
V = volume kubus
a = panjang rusuk kubus
Jadi volumen kubus sama dengan panjang rusuknya dipangkatkan
tiga
Balok pada gambar 14 diberi nama KLMN.PQRS atau
PQRS
KLMN
.
Volume Balok
V = a x a x a = 3 a
K L
M
N
P Q
S
R
(a)
(b)
Gambar – 13
Gambar – 14
Gambar – 15
Pada gambar (15a), tampak kubus satuan, Pada gambar (15b)
tampak balok yang memiliki
panjang 4 satuan panjang, lebar 3 satuan panjang, dan tinggi
2 satuan panjang. Volume balok
(15b) = ( 4 x 3 x 2 ) satuan volume = 24 satuan volume.
Dengan demikian, volume balok (V) yang panjangnya p satuan
panjang, lebarnya l satuan
panjang, dan tingginya t satuan panjang, dirumuskan sebagai
berikut:
Keterangan:
V = volume balok
p = panjang balok
l = lebar balok
t = tinggi balok
Jadi volume balok sama dengan perkalian panjang, lebar, dan
tinggi balok.
Selain kubus dan balok, bangun ruang yang dipelajari adalah
prisma, limas, kerucut, tabung,
dan bola. Buatlah kegiatan untuk membelajarkan siswa agar
dapat mencapai kompetensi
tersebut.
4.4 Kecepatan
Contoh : ( terapan 4.3.3)
Karin pergi dari kota A ke kota B dengan sepeda motor
berkecepatan 60 km/jam. Jarak kedua
kota tersebut adalah 150 km. Waktu yang diperlukan Karin
untuk tiba di kota Badalah..........
Jawaban :
Kecepatan = 60 km/jam
Jarak = 150 km
Waktu = jarak : kecepatan
= (150 : 60) jam
= 2,5 jam
V = p x l x t
Jarak
Kecepatan Waktu
Jarak = kecepatan x waktu
Kecepatan = Jarak : waktu
Waktu = Jarak : kecepatan
Satuan kecepatan = km/jam
Satuan waktu = jam
Satuan jarak = km
Latihan – 4 (Kurang 4.3.3)
1. Buatlah persegipanjang dengan keliling 30 satuan panjang.
Bilangan yang
menyatakan panjang sisi persegipanjang adalah bilangan asli.
Berapakah luas
terkecil dari persegipanjang yang dapat Anda buat? Berapakah
luas terbesar dari
persegipanjang yang dapat Anda buat?
2. Buatlah persegi panjang dengan luas 24 satuan luas.
Bilangan yang menyatakan panjang
sisi persegi panjang adalah bilangan asli. Berapakah
keliling terpanjang dari persegi
panjang yang Anda buat? Berapakah keliling terpendek dari
persegi panjang yang Anda
buat?
3. Apakah Anda dapat menentukan rumus luas segitiga,
persegi, jajargenjang, dan trapesium
dari luas persegipanjang? Jika Anda tidak dapat
menentukannya, jelaskan mengapa. Jika
Anda dapat menentukannya, tunjukkan bagaimana Anda
memperolehnya. Berikut adalah
gambar bangun yang dimaksud.
Segitiga Persegi Jajar Genjang Trapesium
4. Pada materi pengukuran volum hanya dibahas tentang volum
balok. Apakah Anda dapat
menentukan volum kubus, prisma, dan limas berdasarkan volum
balok? Jika Anda tidak
dapat menentukannya, jelaskan mengapa. Jika Anda dapat
menentukannya, tunjukkan
bagaimana Anda memperolehnya.
Materi Pelatihan – 5
PELUANG DAN PENGOLAHAN DATA
1. Peluang TEORI 4.5
Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran
tingkat keyakinan
orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau
peritiwa. Oleh karena itu, untuk
mendiskusikannya dimulai dengan suatu pengamatan.
Contoh :
Percobaan melempar satu mata uang logam (Rp 500 )
Hasil yang mungkin:
1.1. Tampak sisi belakang (B), yaitu nilai Rp 500, dan
1.2. Tampak sisi depan (D), yaitu gambar burung garuda
Percobaan melempar satu mata dadu
Hasil yang mungkin; sisi-sisi dadu yang menunjukkan jumlah
bulatan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Dalam menjalani kehidupan sehari-hari, secara sengaja atau tidak,
manusia juga
melakukan percobaan. Nenek yang menunggu kelahiran cucunya
tanpa sadar melakukan suatu
percobaan, Nenek tersebut melakukan suatu pengamatan,
cucunya akan lahir laki-laki atau
perempuan.
1.1. Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan yang berisi semua hasil yang
mungkin dari suatu percobaan.
Ruang sampel dinotasikan dengan “S”.
Contoh : Percobaan pelemparan satu mata uang logam sebanyak
dua kali berurutan, maka
ruang sampelnya; S = {BB, BD, DB, DD}
1.2. Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh : Percobaan pelemparan satu mata uang logam sebanyak
dua kali berurutan, ruang
sampelnya; S = {BB, BD, DB, DD}. Kejadian munculnya paling
sedikit satu sisi belakang adalah
{BB, BD, DB}
Karena kejadian merupakan suatu himpunan, maka himpunan
kosong { } merupakan kejadian
yang tidak mungkin terjadi (kemustahilan)
1.3. Peluang suatu Kejadian
Misalnya, S mewakili suatu ruang sampel dengan n(s)
banyaknya hasil yang mungkin yang
mempunyai kesempatan sama untuk muncul (equally likely), dan
missal A suatu kejadian pada
ruang sampel S yang berisi n(A) hasil, A Í S, peluang
kejadian A didefinisikan dengan :
( )
n(S)
n A
R(A) =
Contoh : Pada percobaan pelemparan satu mata uang logam
tersebut diatas, berapa peluang
kejadian munculnya paling sedikit satu sisi belakang ?
Jawab : S = {BB, BD, DB, DD}, maka n(S) = 4
Kejadian munculnya paling sedikit satu sisi belakang, A =
{BB, BD, DB}, maka n(A) = 3
Jadi
( )
n(S)
n A
R(A) = =
4
3
1.4. Sifat-sifat Peluang
Misal, S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang
sampel S.
1.4.1. Jika A = ø maka p(A) = 0
1.4.2. Nilai peluang kejadian A, yaitu p(A) berkisar pada 0
≤ p(A) ≤ 1
1.4.3. Jumlah nilai peluang semua hasil dari suatu percobaan
sama dengan 1 (p(S) = 1)
(Probabilitas teori saja, tanpa indikator esensial)
2. Penyajian Data (teori 4.4.1)
2.1. Tabel
Dalam kehidupan sehari-hari orang sering memerlukan berbagai
informasi untuk suatu
keperluan tertentu. Perhatikan informasi tentang pengurusan
Surat Ijin Mengemudi (SIM)
berikut ini:
Seseorang yang mengurus Surat Ijin Mengemudi (SIM) lewat
calo harus mengeluarkan
uang lebih banyak dan memerlukan waktu lebih cepat daripada
mengurus sendiri. Bila orang
mengurus sendiri Surat Ijin Mengemudi (SIM) dari berapa tipe
SIM yaitu SIM A, SIM B, SIM C
mengeluarkan uang masing2 Rp 125.000,00, Rp 175.000,00 dan
Rp 100.000,00. Kalau
pengurusan melalui calo biaya yang dikeluarkan
berturut-turut adalah: Rp 250.000,00, Rp.
375.000,00 dan Rp 300.000,00. Berdasarkan waktu pengurusan,
waktu yang diperlukan
bila mengurus sendiri berturut-turut adalah: 2 hari,
sebulan, dan 1 minggu. Kalau pengurusan
melalui calo, waktu yang diperlukan berturut-turut adalah: 1
hari, 1 minggu, dan 2 hari .
Untuk memahami informasi tersebut di atas cukup sulit,
karena disajikan dalam bentuk
narasi. Sekarang informasi tersebut disajikan dalam bentuk
tabel.
No. Yang mengurus Jenis SIM Biaya Lama Pengurusan
1. Sendiri
SIM A Rp 125.000,00 2 hari
SIM B Rp 175.000,00 1 bulan
SIM C Rp 100.000,00 1 minggu
2 Calo SIM A Rp 250.000,00 1 hari
SIM B Rp. 375.000,00 1 minggu
SIM C Rp 300.000,00 2 hari
2.2. Diagram Batang
Data dapat disajikan dalam bentuk diagram batang. Jika data
di atas disajikan dalam bentuk
diagram batang, maka diagramnya sebagai berikut :
Keterangan :
= mengurus sendiri
= mengurus dengan calo Contoh 4.4.1
PERBANDINGAN MENGURUS SENDIRI DENGAN
CALO
0
50
100
150
200
250
300
350
400
SIM A SIM B SIM C
dalam ribuan
Series1
Series2
2.3. Diagram Lingkaran
Data ada pula yang disajikan dalam bentuk diagram lingkaran.
Berikut adalah contoh
diagram lingkaran tentang film kartun kesukaan siswa.
Setengah dari seluruh siswa menyukai
film naruto, seperempat dari mereka menyukai film conan, dan
sisanya menyukai doraemon.
Data tersebut dapat disajikan dalam diagram lingkaran
berikut.
3. Pemusatan Data (Teori 4.5.2)
3.1. Modus
Kelas V sekolah A di daerah Surabaya mempunyai 20 siswa yang
terdiri dari 9 siswa lakilaki
dan 11 siswa perempuan. Dari kalimat ini dapat diketahui
bahwa siswa perempuan kelas V
sekolah A di daerah Surabaya lebih banyak dibanding anak
laki-laki. Jadi anak perempuan
merupakan modus dalam sekolah A kelas V di daerah Surabaya.
Ketika diadakan ulangan matematika, ke 20 siswa Kelas V
sekolah A di daerah Surabaya
mendapat nilai sebagai berikut : 7, 6, 5, 8, 7, 7, 7, 7, 8,
9, 9, 10, 5, 8, 8, 9, 7, 7, 6, 6. Dari data
tersebut terlihat bahwa banyak siswa Kelas V sekolah A yang
mendapat nilai 7. Dalam hal ini 7
adalah modusnya.
Pekerjaan orang tua di Kelas V sekolah A di daerah Surabaya
dari masing-masing siswa
adalah: PNS, Petani, PNS, Polisi, Tentara, Wiraswasta,
Petani, PNS, Karyawan Swasta,
Wiraswasta, PNS, Petani, Petani, Wiraswasta, PNS, Petani,
Wiraswasta, Polisi, Tentara,
Petani. Dari data tersebut dapat dilihat bahwa pekerjaan
Petani dan PNS muncul 5 kali dan
nilai yang lain muncul dibawah 5. Jadi ada 2 modus pada
kumpulan data tersebut. Kedua
modus itu adalah Petani dan PNS.
Dari dua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa modus
merupakan suatu kejadian yang
sering muncul dalam suatu data
3.2. Rata-rata
Marilah kita perhatikan nilai ulangan Matematika dari Kelas
V sekolah A di daerah
Surabaya. Dari data tersebut dapat dihitung rata-rata nilai
siswa Kelas V sekolah A di daerah
Surabaya. Rata-rata tersebut adalah (7 + 6 + 5 + 8 + 7+ 7 +
7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 5 + 8 + 8 +
9 + 7 + 7 + 6 + 6) : 20 = 7,3. Jadi nilai rata-rata
matematika siswa kelas V sekolah A di
Surabaya adalah 7,3. Contoh 4.4.2
Doraemon
Sincan
Naruto Gambar 3 Contoh 4.4.1
3.3. Median
Kalau nilai ulangan dari Kelas V sekolah A di daerah
Surabaya diurutkan dari nilai
terendah ke nilai tertinggi adalah: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7,
7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10 Dalam hal
ini nilai tengahnya adalah 7. Jadi mediannya adalah 7.
Latihan – 5 (Soal 4.4.1 + 4.4.2)
Buatlah data dalam bentuk tabel, tentang nilai matematika di
kelas yang selama ini saudara
pegang !
Setelah itu sajikan data tersebut ke dalam:
1. Diagram Batang
2. Diagram Garis
3. Diagram Lingkaran
Lalu carilah modus, median, dan rata-ratanya.
TUGAS
1. Carilah luas bangun berikut!
2. Hanim memiliki sebuah cokelat tobleron yang bungkus
kardusnya berbentuk prisma tegak
segitiga dan memiliki sisi alas segitiga sama kaki dengan
alas 6 cm dan tinggi 4 cm.
sedangkan tinggi bungkus cokelat tersebut adalah 20 cm.
tentukan luas sisi cokelat
tersebut ?
3. Carilah penggunaan bilangan untuk berbagai keperluan yang
dapat Anda jumpai dalam
kehidupan sehari-hari.
4. Setelah diadakan ulangan matematika 20 siswa Kelas V
sekolah A di daerah Surabaya
mendapat nilai sebagai berikut : 7, 8, 5, 8, 7, 9, 7, 9, 8,
9, 9, 10, 5, 8, 8, 9, 5, 7, 6, 6.
Carilah: (a) Modus (b) Median (c) Mean (d) Buatlah diagram
lingkarannya
20cm
15cm
10cm
8cm
13cm
5cm