:

Selasa, 31 Juli 2012

Meteri UKG> Matematika


Materi Pelatihan – 1
DASAR DAN KONSEP TEORI BELAJAR
1. TEORI DAN KONSEP BELAJAR BRUNER (teori dukung 3.1.1+2)
Sebagai guru kelas di sekolah dasar di suatu sekolah, Saudara akan selalu terkait dan terlibat
dalam pembelajaran matematika sekolah. Keterlibatan ini menjadikan pembelajaran
matematika sekolah begitu penting bagi Anda. Karena matematika merupakan ilmu universal
yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran dalam berbagai disiplin
dan memajukan daya pikir manusia. Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua
peserta didik mulai dari sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan
berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi
tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan
memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti,
dan kompetitif. Untuk menguasai dan mencipta teknologi dan kemampuan berpikir logis,
analitis, sistematis, kritis, dan kreatif di masa depan, maka diperlukan penguasaan matematika
yang kuat sejak dini dan pembelajaran yang membuat siswa belajar dan menjadi bermakna.
Adapun tujuan matematika sekolah, khusus di Sekolah Dasar (SD) atau Madrasah Ibtidiyah
(MI) agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.
1.1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan
mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam
pemecahan masalah.
1.2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam
membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan
matematika.
1.3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model
matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh
1.4. Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk
memperjelas keadaan atau masalah.
1.5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa
ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan
percaya diri dalam pemecahan masalah.
Bruner, mengungkapkan bahwa dalam proses belajar anak sebaiknya diberi kesempatan
memanipulasi benda-benda atau alat peraga yang dirancang secara khusus dan dapat diotakatik
oleh siswa dalam memahami suatu konsep matematika. Melalui alat peraga yang ditelitinya
itu, anak akan melihat langsung bagaimana keteraturan dan pola struktur yang terdapat dalam
benda yang sedang diperhatikannya itu. Keteraturan tersebut kemudian oleh anak dihubungkan
dengan intuitif yang telah melekat pada dirinya. Peran guru dalam penyelenggaraan pelajaran
tersebut, (a) perlu memahami sturktur mata pelajaran, (b) pentingnya belajar aktif supaya
seorang dapat menemukan sendiri konsep-konsep sebagai dasar untuk memahami dengan
benar, (c) pentingnya nilai berfikir induktif.

Dengan demikian agar pembelajaran dapat mengembangkan keterampilan intelektual anak
dalam mempelajari sesuatu pengetahuan (misalnya suatu konsep matematika), maka materi
pelajaran perlu disajikan dengan memperhatikan tahap perkembangan kognitif/ pengetahuan
anak agar pengetahuan itu dapat diinternalisasi dalam pikiran (struktur kognitif) orang tersebut.
Proses internalisasi akan terjadi secara sungguh-sungguh (yang berarti proses belajar terjadi
secara optimal) jika pengetahuan yang dipelajari itu dipelajari dalam tiga tahapan yaitu tahap
enaktif, ikonik dan tahap simbolik.
1.1.Tahap Enaktif
Dalam tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan anak secara langsung terlibat dalam
memanipulasi (mengotak-atik) objek. Pada tahap ini anak belajar sesuatu pengetahuan di mana
pengetahuan itu dipelajari secara aktif, dengan menggunakan benda-benda konkret atau
menggunakan situasi yang nyata, pada penyajian ini anak tanpa menggunakan imajinasinya
atau kata-kata. Ia akan memahami sesuatu dari berbuat atau melakukan sesuatu.
1.2. Tahap Ikonik
Tahap ikonik, yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan di mana pengetahuan itu
direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk bayangan visual (visual imaginery), gambar, atau
diagram, yang menggambarkan kegiatan kongkret atau situasi kongkret yang terdapat pada
tahap enaktif tersebut di atas (butir a). Bahasa menjadi lebih penting sebagai suatu media
berpikir. Kemudian seseorang mencapai masa transisi dan menggunakan penyajian ikonik yang
didasarkan pada pengindraan kepenyajian simbolik yang didasarkan pada berpikir abstrak.
1.3.Tahap Simbolis
Dalam tahap ini bahasa adalah pola dasar simbolik, anak memanipulasi simbul-simbul atau
lambang-lambang objek tertentu. Anak tidak lagi terikat dengan objek-objek seperti pada tahap
sebelumnya. Anak pada tahap ini sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan
terhadap objek riil. Pada tahap simbolik ini, pembelajaran direpresentasikan dalam bentuk
simbol-simbol abstrak (abstract symbols), yaitu simbol-simbol arbiter yang dipakai berdasarkan
kesepakatan orang-orang dalam bidang yang bersangkutan, baik simbol-simbol verbal
(misalnya huruf-huruf, kata-kata, kalimat-kalimat), lambang-lambang matematika, maupun
lambang-lambang abstrak yang lain.
Contoh (3.1.2)
Dalam mempelajari penjumlahan dua bilangan cacah, pembelajaran akan terjadi secara
optimal jika mula-mula siswa mempelajari hal itu dengan menggunakan benda-benda konkret
(misalnya menggabungkan 3 kelereng dengan 2 kelereng, dan kemudian menghitung
banyaknya kelereng semuanya ini merupakan tahap enaktif. Kemudian, kegiatan belajar
dilanjutkan dengan menggunakan gambar atau diagram yang mewakili 3 kelereng dan 2
kelereng yang digabungkan tersebut (dan kemudian dihitung banyaknya kelereng semuanya,
dengan menggunakan gambar atau diagram tersebut/ tahap yang kedua ikonik, siswa bisa
melakukan penjumlahan itu dengan menggunakan pembayangan visual (visual imagenary) dari
kelereng tersebut. Pada tahap berikutnya yaitu tahap simbolis, siswa melakukan penjumlahan
kedua bilangan itu dengan menggunakan lambang-lambang bilangan, yaitu : 3 + 2 = 5. Dengan
cara yang sama dapat dilanjutkan dengan perkalian fakta dasar lainnya.

Selain mengembangkan teori perkembangan kognitif, Bruner mengemukakan teorema atau
dalil-dalil berkaitan dengan pengajaran matematika. Berdasarkan hasil-hasil eksperimen dan
observasi yang dilakukan oleh Bruner dan Kenney, pada tahun 1963 kedua pakar tersebut
mengemukakan empat teorema/dalil-dalil berkaitan dengan pengajaran matematika. Keempat
dalil tersebut adalah :
1.1. Dalil Konstruksi / Penyusunan (Contruction Theorem)
Di dalam teorema kontruksi dikatakan bahwa cara yang terbaik bagi seseorang siswa
untuk mempelajari sesuatu atau prinsip dalam Matematika adalah dengan mengkontruksi atau
melakukan penyusunan sebagai sebuah representasi dari konsep atau prinsip tersebut.
Alasannya, jika para siswa bisa mengkontuksi sendiri representasi tersebut mereka akan lebih
mudah menemukan sendiri konsep atau prinsip yang terkandung dalam representasi tersebut,
sehingga untuk selanjutnya mereka juga mudah untuk mengingat hal-hal tesebut dan dapat
mengaplikasikan dalam situasi-situasi yang sesuai.
Dalam proses perumusan dan mengkonstruksi atau penyusunan ide-ide, apabila disertai
dengan bantuan benda-benda konkret mereka lebih mudah mengingat ide-ide tersebut. Dengan
demikian, anak lebih mudah menerapkan ide dalam situasi nyata secara tepat. Seperti yang
diuraikan pada penjelasan tentang modus-modus representasi, akan lebih baik jika para siswa
mula-mula menggunakan representasi kongkret yang memungkinkan siswa untuk aktif, tidak
hanya aktif secara intelektual (mental) tetapi juga secara fisik.
Contoh (3.1.5) untuk memahami konsep penjumlahan misalnya 5 + 4 = 9, siswa bisa
melakukan dua langkah berurutan, yaitu 5 kotak dan 4 kotak, cara lain dapat direpresentasikan
dengan garis bilangan. Dengan mengulang hal yang sama untuk dua bilangan yang lainnya
anak-anak akan memahami konsep penjumlahan dengan pengertian yang mendalam.
Contoh lain (3.1.3), anak mempelajari konsep perkalian yang didasarkan pada prinsip
penjumlahan berulang, akan lebih memahami konsep tersebut. Jika anak tersebut mencoba
sendiri menggunakan garis bilangan untuk memperlihatkan proses perkalian tersebut. Misalnya
3 x 5, ini berarti pada garis bilangan meloncat 3x dengan loncatan sejauh 5 satuan, hasil
loncatan tersebut kita periksa ternyata hasilnya 15. Dengan mengulangi hasil percobaan seperti
ini, anak akan benar-benar memahami dengan pengertian yang mendalam, bahwa perkalian
pada dasarnya merupakan penjumlahan berulang.
1.2. Dalil Notasi (Notation Theorem)
Menurut apa yang dikatakan dalam terorema notasi, representasi dari sesuatu materi
matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila di dalam representasi itu digunakan
notasi yang sesuai dengan tingkat perkembangan kognitif siswa. Sebagai contoh, untuk siswa
sekolah dasar, yang pada umumnya masih berada pada tahap operasi kongkret, soal berbunyi;
”Tentukanlah sebuah bilangan yang jika ditambah 3 akan menjadi 8”, akan lebih sesuai jika
direpresentasikan dalam diberikan bentuk ... + 3 = 8 atau □ + 3 = 8 atau a + 3 = 8

1.3. Dalil Kekontrasan dan Variasi (Contrast and Variation Theorem)
Di dalam teorema kekontrasan dan variasi dikemukakan bahwa sesuatu konsep
Matematika akan lebih mudah dipahami oleh siswa apabila konsep itu dikontraskan dengan
konsep-konsep yang lain, sehingga perbedaan antara konsep itu dengan konsep-konsep yang
lain menjadi jelas. Sebagai contoh, pemahaman siswa tentang konsep bilangan prima akan

menjadi lebih baik bila bilangan prima dibandingkan dengan bilangan yang bukan prima,
menjadi jelas. Demikian pula, pemahaman siswa tentang konsep persegi dalam geometri akan
menjadi lebih baik jika konsep persegi dibandingkan dengan konsep-konsep geometri yang lain,
misalnya persegipanjang, jajarangenjang, belahketupat, dan lain-lain. Dengan membandingkan
konsep yang satu dengan konsep yang lain, perbedaan dan hubungan (jika ada) antara konsep
yang satu dengan konsep yang lain menjadi jelas.

1.4. Dalil Konektivitas atau Pengaitan (Connectivity Theorem)
Di dalam teorema konektivitas disebutkan bahwa setiap konsep, setiap prinsip, dan setiap
ketrampilan dalam matematika berhubungan dengan konsep-konsep, prinsip-prinsip, dan
ketrampilan-ketrampilan yang lain. Adanya hubungan antara konsep-konsep, prinsip-prinsip,
dan ketrampilan-ketrampilan itu menyebabkan struktur dari setiap cabang matematika menjadi
jelas. Adanya hubungan-hubungan itu juga membantu guru dan pihak-pihak lain (misalnya
penyusun kurikulum, penulis buku, dan lain-lain) dalam upaya untuk menyusun program
pembelajaran bagi siswa.
Dalam pembelajaran matematika, tugas guru bukan hanya membantu siswa dalam
memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip serta memiliki ketrampilan-ketrampilan tertentu,
tetapi juga membantu siswa dalam memahami hubungan antara konsep-konsep, prinsipprinsip,
dan ketrampilan-ketrampilan tersebut. Dengan memahami hubungan antara bagian
yang satu dengan bagian yang lain dari matematika, pemahaman siswa terhadap struktur dan
isi matematika menjadi lebih utuh.
Perlu dijelaskan bahwa keempat dalil tersebut di atas tidak dimaksudkan untuk diterapkan
satu per satu seperti di atas. Dalam penerapan (implementasi), dua dalil atau lebih dapat
diterapkan secara bersama dalam proses pembelajaran sesuatu materi matematika tertentu.

Metode Penemuan
Satu hal menjadikan Bruner terkenal karena dia lebih peduli terhadap proses belajar dari
pada hasil belajar. Oleh karena itu, menurut Bruner metode belajar merupakan faktor yang
menentukan dalam pembelajaran dibandingkan dengan pemerolehan khusus. Metode yang
sangat didukungnya yaitu metode penemuan (discovery).
Discovery learning dari Bruner, merupakan model pengajaran yang dikembangkan
berdasarkan pada pandangan kognitif tentang pembelajaran dan prinsip-prinsip konstruktivis. Di
dalam discovery learning siswa didorong untuk belajar sendiri secara mandiri. Siswa belajar
melalui keterlibatan aktif dengan konsep-konsep dan prinsip-prinsip dalam memecahkan
masalah, dan guru mendorong siswa untuk mendapatkan pengalaman dengan melakukan
kegiatan yang memungkinkan siswa menemukan prinsip-prinsip untuk diri mereka sendiri,
bukan memberi tahu tetapi memberikan kesempatan atau dengan berdialog agar siswa
menemukan sendiri.
Pembelajaran tersebut membangkitkan keingintahuan siswa, memotivasi siswa untuk
bekerja sampai menemukan jawabannya. Siswa belajar memecahkan secara mandiri dengan
keterampilan berpikir sebab mereka harus menganalisis dan memanipulasi informasi.
Penemuan yang dimaksud disini bukan penemuan sungguh-sungguh, sebab apa yang
ditemukan itu sebenarnya sudah ditemukan orang. Jadi penemuan di sini ialah penemuan purapura,
atau penemuan bagi siswa yang bersangkutan saja. Nampaklah, bahwa Bruner sangat

menyarankan keaktifan anak dalam proses belajar secara penuh. Lebih disukai lagi bila proses
ini berlangsung di tempat yang khusus, yang dilengkapi dengan objek-objek untuk dimanipulasi
anak, misalnya laboratorium.
Dengan metode tersebut anak didorong untuk memahami suatu fakta dan hubungannya
yang belum dia pahami sebelumnya, dan yang belum diberikan kepadanya secara langsung
oleh orang lain. Adapun tahap-tahap Penerapan Belajar Penemuan adalah sabagai berikut:
1.1. Stimulus ( pemberian perangsang/simuli); kegiatan belajar di mulai dengan memberikan
pertanyaan yang merangsang berpikir siswa, menganjurkan dan mendorongnya untuk
membaca buku dan aktivitas belajar lain yang mengarah pada persiapan pemecahan
masalah;

1.2. Problem Statement (mengidentifikasi masalah); memberikan kesempatan kepada siswa
untuk mengidentifikasi sebanyak mungkin masalah yang relevan dengan bahan pelajaran
kemudian memilih dan merumuskan dalam bentuk hipotesa (jawaban sementara dari
masalah tersebut);
1.3. Data collecton ( pengumpulan data); memberikan kesempatan kepada para siswa untuk
mengumpulkan informasi yang relevan sebanyak-banyaknya untuk membuktikan benar
atau tidaknya hipotesa tersebut;
1.4. Data Prosessing (pengolahan data); yakni mengolah data yang telah diperoleh siswa
melalui kegiatan wawancara, observasi dll. Kemudian data tersebut ditafsirkan;
1.5. Verifikasi, mengadakan pemerksaan secara cermat untuk membuktikan benar tidaknya
hipotesis yang ditetapkan dan dihubungkan dengan hasil dan processing;
1.6. Generalisasi, mengadakan penarikan kesimpulan untuk dijadikan prinsip umum dan
berlaku untuk semua kejadian atau masalah yang sama dengan memperhatikan hasil
verivikasi. (Muhibbin Syah,1995) dalam Paulina Panen (2003; Hal.3.16).
Bagi guru matematika perlu mengetahui bahwa dalam metode penemuan.
1.1. Yang dimaksud dengan ”penemuan sesuatu”, pada metode penemuan, hanya belaku bagi
yang bersangkutan;
1.2. Pikirkan dengan mantap, konsep apa yang akan ditemukan itu;
1.3. Tidak semua materi matematika dapat disajikan dengan metode penemuan secara baik;
1.4. Metode penemuan memerlukan waktu relatif lebih banyak;
1.5. Supaya tidak mengambil kesimpulan terlalu pagi, berilah banyak contoh-contohnya
sebelum siswa membuat kesimpulan;
1.6. Bila siswa mendapat kesukaran membuat generalisasinya (kesimpulan), bantulah mereka.
Ingat pula bahwa mampu merumuskan sesuatu dengan bahasa yang baik dalam
matematika memerlukan penguasaan bahasa yang tinggi. Bila siswa tidak dapat mengerti
dengan salah satu penyajian penampilan penemuan gunakan teknik lain;
1.7. Jangan mengharapkan semua siswa mampu menemukan setiap konsep yang kita minta
untuk mencarinya;
1.8. Memperoleh generalisasi atau kesimpulan yang benar pada metode penemuan ini adalah
hasil yang paling akhir; untuk mengetahui bahwa kesimpulan kita itu benar kita harus
melakukan pemeriksaan/pengecekan;
1.9. Buatlah kegiatan sebagai aplikasi penemuan.

Langkah Penerapan Teori Belajar Bruner
Sebelum kita mengimplementasikan teori belajar Bruner dalam pembelajaran matematika,
marilah kita terlebih dahulu mengetahui bagaimana langkah-langkah penerapan dapat
dilakukan yaitu: (3.1.6)
1.1. Sajikan contoh dan bukan contoh dari konsep-konsep yang anda ajarkan.
Misal : untuk contoh mau mengajarkan bentuk bangun datar segiempat, sedangkan bukan
contoh adalah berikan bangun datar segitiga, segi lima atau lingkaran.
1.2. Bantu siswa untuk melihat adanya hubungan antara konsep-konsep.
Misalnya berikan pertanyaan kepada siswa seperti berikut ini ” apakah nama bentuk ubin
yang sering digunakan untuk menutupi lantai rumah? Berapa cm ukuran ubin-ubin yang
dapat digunakan?
1.3. Berikan satu pertanyaan dan biarkan biarkan siswa untuk mencari jawabannya sendiri.
Misalnya Jelaskan ciri-ciri/ sifat-sifat dari bangun Ubin tersebut?
1.4. Ajak dan beri semangat siswa untuk memberikan pendapat berdasarkan intuisinya. Jangan
dikomentari dahulu jawaban siswa, gunakan pertanyaan yang dapat memandu siswa untuk
berpikir dan mencari jawaban yang sebenarnya. (Anita dalam Panen, 2003)
2. TEORI PERKEMABANGAN INTELEKTUAL PIAGET (teori dukung 3.1.1+2)
Jean Piaget berpendapat bahwa proses berpikir manusia sebagai suatu perkembangan
yang bertahap dari berpikir intelektual konkret ke abstrak berurutan melalui empat periode.
Urutan periode itu tetap bagi setiap orang, namun usia atau kronologis pada setiap orang yang
memasuki setiap periode berpikir yang lebih tinggi berbeda-beda tergantung kepada masingmasing
individu.
Piaget adalah orang pertama yang menggunakan filsafat konstruktivis dalam proses
belajar mengajar. Piaget (dalam Bell, 1981), berpendapat bahwa proses berpikir manusia
merupakan suatu perkembangan yang bertahap dari berpikir intelektual kongkret ke abstrak
berurutan melalui empat tahap perkembangan, sebagai berikut:
2.1. Periode Sensori Motor (0 – 2) tahun. Karateristik periode ini merupakan gerakan-gerakan
sebagai akibat reaksi langsung dari rangsangan. Rangsangan itu timbul karena anak melihat
dan merab-raba objek. Anak itu belum mempunyai kesadaran adanya konsep objek yang tetap.
Bila objek itu disembunyikan, anak itu tidak akan mencarinya lagi. Namun karena
pengalamannya terhadap lingkungannya, pada akhir periode ini, anak menyadari bahwa objek
yang disembunyikan tadi masih ada dan ia akan mencarinya.
2.2. Periode Pra-operasional (2 – 7) tahun. Operasi yang dimaksud di sini adalah suatu
proses berpikir atau logik, dan merupakan aktivitas mental, bukan aktivitas sensori motor. Pada
periode ini anak di dalam berpikirnya tidak didasarkan kepada keputusan yang logis melainkan
didasarkan kepada keputusan yang dapat dilihat seketika. Periode ini sering disebut juga
periode pemberian simbol, misalnya suatu benda diberi nama (simbol). Pada periode ini anak
terpaku kepada kontak langsung dengan lingkungannya, tetapi anak itu mulai memanipulasi
simbol dari benda-benda sekitarnya. Walaupun pada periode permulaan pra-operasional ini
anak mampu menggunakan simbol-simbol, ia masih sulit melihat hubungan-hubungan dan
mengambil kesimpulan secara taat asas.
3.3. Periode operasi kongkret (7 – 12) tahun.

Periode ini disebut operasi kongkret sebab berpikir logiknya didasarkan atas manipulasi
fisik dari objek-objek. Operasi kongkret hanyalah menunjukkan kenyataan adanya hubungan
dengan pengalaman empirik-kongkret yang lampau dan masih mendapat kesulitan dalam
mengambil kesimpulan yang logis dari pengalaman-pengamanan yang khusus. Pengerjaanpengerjaan
logika dapat dilakukan dengan berorientasi ke objek-objek atau peristiwa-peristiwa
yang langsung dialami anak. Dalam periode operasi kongkret, karakteristik berpikir anak adalah
sebagai berikut:
Kombinasivitas atau klasifikasi adalah suatu operasi dua kelas atau lebih yang
dikombinasikan ke dalam suatu kelas yang lebih besar. Anak dapat membentuk variasi relasi
kelas dan mengerti bahwa beberapa kelas dapat dimasukkan ke kelas lain. Misalnya semua
manusia lelaki dan semua manusia wanita adalah semua manusia. Hubungan A > B dan B > C
menjadi A > C.
Reversibilitas adalah operasi kebalikan. Setiap operasi logik atau matematik dapat
dikerjakan dengan operasi kebalikan. Misalnya, 5 + ? = 9 sama dengan 9 – 5 = ? Reversibilitas
ini merupakan karakteristik utama untuk berpikir operasional di dalam teori Piaget
Asosiasivitas adalah suatu operasi terhadap beberapa kelas yang dikombinasikan menurut
sebarang urutan. Misalnya himpunan bilangan bulat, operasi ”+”, berlaku hukum asosiatif
terhadap penjumlahan. Identitas adalah suatu operasi yang menunjukkan adanya unsur nol
yang bila dikombinasikan dengan unsur atau kelas hasilnya tidak berubah. Misalnya dalam
himpunan bilangan bulat dengan operasi ”+”, unsur nol adalah 0 sehingga 8 + 0 = 8. Demikian
juga suatu jumlah dapat dinolkan dengan mengkombinasikan lawannya, misalnya 4 – 4 = 0.
Korespondensi satu – satu antara objek-objek dari dua kelas. Misalnya unsur dari suatu
himpunan berkawan dengan satu unsur dari himpunan kedua dan sebaliknya.
Kesadaran adanya prinsip-prinsip konservasi. Konservasi berkenaan dengan kesadaran
bahwa satu aspek dari benda, tetap sama sementara itu aspek lainnya berubah. Namun prinsip
konservasi yang dimiliki anak pada periode ini masih belum penuh. Anak pada periode ini
dilandasi oleh observasi dari pengalaman dengan objek nyata, tetapi ia sudah mulai
menggeneralisasi objek-objek tadi.

3.4. Periode Operasi Formal (> 12) tahun.
Periode operasi formal ini disebut juga periode operasi hipotetik-deduktif yang merupakan
tahap tertinggi dari perkembangan intelektual. Anak-anak pada periode ini sudah memberikan
alasan dengan menggunakan lebih banyak simbul atau gagasan dalam cara berpikir. Anak
sudah dapat mengoperasikan argumen-argumen tanpa dikaitkan dengan benda-benda empirik.
Ia mampu menggunakan prosedur seorang ilmuwan, yaitu menggunakan posedur hipotetikdeduktif.
Anak mampu menyelesaikan masalah dengan cara yang lebih baik dan kompleks dari
pada anak yang masih dalam tahap periode operasi kongkret.
Konsep konservasi telah tercapai sepenuhnya. Anak sudah mampu menggunakan
hubungan-hubungan di antara objek-objek apabila ternyata manipulasi objek-objek tidak
memungkinkan. Anak telah mampu melihat hubungan-hubungan abstrak dan menggunakan
proposisi-proposisi logik-formal termasuk aksioma dan definisi-definisi verbal. Anak juga sudah
dapat berpikir kombinatorik, artinya bila anak dihadapkan kepada suatu masalah, ia dapat

mengisolasi faktor-faktor tersendiri atau mengkombinasikan faktor-faktor itu sehingga menuju
penyelesaian masalah tadi.
Menurut Piaget, tahap-tahap berpikir itu adalah pasti dan spontan namun umur kronolois
yang diberikan itu adalah fleksibel, terutama selama transisi dari periode yang satu ke periode
berikutnya. Umur kronologis itu dapat saling tindih bergantung kepada individu. Piaget
berpendapat, tidak ada gunanya bila kita memaksa anak untuk cepat berpindah ke periode
berikutnya.

3. TEORI BELAJAR DIENES (teori dukung 3.1.1 + 2)
Dienes (dalam Ruseffendi, 1992) berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat
dianggap sebagai studi tentang struktur, memisah-misahkan hubungan-hubungan di antara
struktur-struktur dan mengkategorikan hubungan- hubungan di antara struktur-struktur. Seperti
halnya dengan Bruner, Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam
matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini
mengandung arti bahwa jika benda-benda atau objek-objek dalam bentuk permainan akan
sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.
Menurut Dienes (dalam Ruseffendi, 1992:125-127), konsep-konsep matematika akan berhasil
jika dipelajari dalam tahap-tahap tertentu. Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi tahap,
yaitu
3.1. Permainan Bebas (Free Play)
Dalam setiap tahap belajar, tahap yang paling awal dari pengembangan konsep bermula
dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan tahap belajar konsep yang aktivitasnya
tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda.
Selama permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai membentuk struktur
mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan diri untuk memahami konsep yang sedang
dipelajari. Misalnya dengan diberi permainan block logic, anak didik mulai mempelajari konsepkonsep
abstrak tentang warna, tebal tipisnya benda yang merupakan ciri/sifat dari benda yang
dimanipulasi.

3.2. Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)
Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai meneliti pola-pola dan keteraturan
yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu
tapi tidak terdapat dalam konsep yang lainnya. Anak yang telah memahami aturan-aturan tadi.
Jelaslah, dengan melalui permainan siswa diajak untuk mulai mengenal dan memikirkan
bagaimana struktur matematika itu. Makin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan
dalam konsep tertentu, akan semakin jelas konsep yang dipahami siswa, karena akan
memperoleh hal-hal yang bersifat logis dan matematis dalam konsep yang dipelajari itu.
3.3. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)
Dalam mencari kesamaan sifat siswa mulai diarahkan dalam kegiatan menemukan sifatsifat
kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih dalam mencari kesamaan
sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan menstranslasikan kesamaan struktur dari
bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada
dalam permainan semula. Contoh 3.1.6 kegiatan yang diberikan dengan permainan block logic,

anak dihadapkan pada kelompok persegi dan persegi panjang yang tebal, anak diminta
mengidentifikasi sifat-sifat yang sama dari benda-benda dalam kelompok tersebut (anggota
kelompok).
3.4. Permainan Representasi (Representation)
Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang sejenis. Para siswa
menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu. Setelah mereka berhasil menyimpulkan
kesamaan sifat yang terdapat dalam situasi-situasi yang dihadapinya itu. Representasi yang
diperoleh ini bersifat abstrak, Dengan demikian telah mengarah pada pengertian struktur
matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep yang sedang dipelajari. Contoh
kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal.

3.5. Permainan dengan Simbolisasi (Symbolization)
Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan kemampuan merumuskan
representasi dari setiap konsep-konsep dengan menggunakan simbol matematika atau melalui
perumusan verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari banyaknya diagonal dengan
pendekatan induktif tersebut, kegiatan berikutnya menentukan rumus banyaknya diagonal
suatu poligon yang digeneralisasikan dari pola yang didapat anak.
4. Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD (teori dukung 3.1.3 + 4 + 6)
Dalam pembelajaran matematika SD, agar bahan pelajaran yang diberikan lebih mudah
dipahami oleh siswa, diperlukan bahan-bahan yang perlu disiapkan guru, dari barang-barang
yang harganya relatif murah dan mudah diperoleh, misalnya dari karton, kertas, kayu, kawat,
kain untuk menanamkan konsep matematika tertentu sesuai dengan keperluan.

4.1. Bahan Manipulatif dari Kertas
Manfaat dari bahan manipulatif kertas/karton ini antara lain untuk menjelaskan pecahan
(konsep, sama/senilai, operasi). Konsep pecahan m/n sebagai m bagian dari n bagian yang
sama. Guru dapat mendemonstrasikan, atau dipraktekkan oleh siswa dengan menggunakan
berbagai macam bangun geometri, misalnya persegi, persegi panjang, lingkaran, dll. Contoh
3.1.4
¼ ½ 1/5 ¼
4.2. Model Stik
Model ini dapat digunakan untuk menjelaskan konsep satuan, puluhan, dan ratusan untuk
siswa SD kelas rendah. Lidi-lidi tersebut dalam bentuk lepas (satuan), bentuk ikatan
(sepuluhan) dan bentuk ikatan dari ikatan sepuluhan (seratusan). Model-model stik ini dapat
digunakan untuk menjelaskan konsep numeral (lambang bilangan), kesamaan bilangan, dan
operasi bilangan bulat.
4.3. Model Persegi dan Strip dari kayu/tripleks
Model ini terdiri dari potongan-potongan persegi kayu/tripleks, strip-strip sepanjang sepuluh
persegi, dan daerah seluas sepuluh strip. Kegunaan model persegi dan strip serupa dengan
kegunaan model stik, yaitu untuk menjelaskan konsep numeral, kesamaan bilangan, dan
operasi bilangan bulat.
4.5. Model Kertas bertitik / berpetak

Model ini dapat digunakan untuk menjelaskan banyak hal yang terkait dengan geometri
(bangun datar dan sifat-sifatnya, hubungan antar bangun datar, dan luas bangun datar).
Berbagai posisi datar, tegak, miring bangun datar ( segitiga, persegi, persegi panjang, jajar
genjang, belah ketupat, laying-layang dan trapezium) dapat diperagakan dengan kertas bertitik.
Dengan perkembangan ketersediaan bahan saat ini, dapat digunakan white board.
Latihan – 1
1. Rencanakan pembelajaran suatu konsep matematika dengan menggunakan salah satu
teori belajar yang anda ketahui ! (terapan 3.1.1 + 2)
2. Pilih konsep matematika yang anda kuasai, kemudian gunakan bahan manipulative untuk
menyampaikan konsep tersebut ! (terapan 3.1.3+4+6)
Materi Pelatihan – 2
BILANGAN
1. Konsep Bilangan (teori 4.1)
Anggota dari himpunan-himpunan {a}, {1}, {0}, {#}, dan {@}, dapat dikorespondensikan 1 – 1
untuk tiap-tiap pasang himpunan-himpunan itu. Himpunan-himpunan itu dikatakan himpunan
yang ekivalen. Banyaknya anggota dalam himpunan itu disebut bilangan kardinal.
Selanjutnya konsep bilangan mengacu pada kardinalitas dari suatu himpunan. Misalnya; { }, {a},
{a,b}, {a,b,c}, ….., maka kardinalitas dari himpunan-himpunan tersebut adalah; 0, 1, 2, 3, ………
Pelatihan pada bilangan bulat
1.1.Bahan yang Diperlukan
Tali dan alat tulis
1..2. Uraian Kegiatan
Gunakan tali untuk meragakan garis bilangan bulat, seperti gambar berikut:
Gambar 1
Untuk menandai titik yang terkait dengan suatu bilangan dapat dibuat simpul atau penanda
lain. Sedangkan angkanya dapat ditulis atau menggunakan kartu bilangan.
Garis bilangan tersebut akan digunakan untuk menentukan jumlah atau selisih dua
bilangan bulat. Untuk memaknai penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dibuat
kesepakatan berikut:
+ , sebagai operasi penjumlahan, dibaca diteruskan
- , sebagai operasi pengurangan, dibaca balik kanan
+, sebagai tanda bilangan, dibaca maju. Contoh +3 dibaca maju 3 langkah
-, sebagai tanda bilangan, dibaca mundur. Contoh -3 dibaca mundur 3 langkah
Berikut disajikan contoh pengoperasian bilangan bulat: Contoh 4.1.1
1.1. 3 + 5 dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, diteruskan maju 5 langkah.
1.2. 3 + (-7) dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, diteruskan mundur 7 langkah.
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

1.3 -5 + 5 dibaca mundur 5 langkah, dimulai dari 0, diteruskan maju 5 langkah.
1.4. -4 + (-2) dibaca mundur 4 langkah, dimulai dari 0, diteruskan mundur 2
langkah.
1.5. 3-5 dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, balik kanan maju 5 langkah.
1.6. 3 - (-7) dibaca maju 3 langkah, dimulai dari 0, balik kanan mundur 7 langkah.
1.7. -5-5 dibaca mundur 5 langkah, dimulai dari 0, balik kanan maju 5 langkah.
1.8. -4 - (-2) dibaca mundur 4 langkah, dimulai dari 0, balik kanan mundur 2 langkah.
Hasil dari penjumlahan atau pengurangan tersebut adalah bilangan yang ditunjukkan
oleh tempat terakhir dari kegiatan tersebut.
2. Berikut akan dibahas tentang operasi bilangan. Teori 4.1.1
Operasi biner, pada himpunan bilangan real adalah fungsi yang memasangkan setiap
pasang bilangan real dengan suatu bilangan real, secara tunggal. Operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian adalah operasi biner. Jadi untuk melakukan operasioperasi
tersebut diperlukan sepasang (dua) bilangan real, sedangkan hasil pengoperasiannya
juga bilangan real (tunggal).
2.1. Penjumlahan dan Pengurangan
Jumlah dua bilangan real a dan b adalah c dinyatakan dengan a + b = c, dibaca a tambah b
sama dengan c. a dan b masing-masing disebut suku (penjumlahan), c disebut jumlah a dan b
atau hasil penjumlahan a dan b.
Penjumlahan pada himpunan bilangan real mempunyai sifat-sifat berikut;
2.1.1. Untuk setiap a dan b berlaku a + b - b + a (sifat komutatif atau pertukaran)
2.1.2. Ada 0 untuk setiap a, sedemikian hingga a + 0 = a (0 adalah unsur identitas penjumlahan)
2.1.3. Untuk setiap a ada lawan a yaitu -a hingga berlaku u + (-a) = 0
2.1.4. Untuk setiap a, b, dan c berlakulah (a + b) + c = a + (b + c) (sifat asosiatif atau
pengelompokan)
Selisih dua bilangan real a dan b adalah c dinyatakan dengan a – b = c, dibaca a dikurangi
b sama dengan c. Hasil dari a — b sama dengan jumlah a dan lawan b, yang dinyatakan
dengan a - b = a + (- b), a adalah bilangan yang dikurangi, b adalah pengurang, c disebut
selisih atau hasil pengurangan a oleh b.
2.2. Perkalian dan Pembagian
Perhatikan gambar berikut:
Berapa banyak gambar bintang pada gambar – 1? Bagaimana cara Anda
memperolehnya? Banyak gambar bintang pada gambar– 1 adalah 6 yang dapat diperoleh dari 3
+ 3.
3 + 3 dapat ditulis dalam bentuk perkalian, yaitu 2 x3 . Cara lain untuk memperolehnya adalah 2 + 2
+ 2+ 2 + 2 + 2 dapat ditulis dalam bentuk perkalian, yaitu 3 * 2. Secara umum dapat ditulis :
Gambar – 1

a x b = b + b + b + … + b
a
Pada a*b = c, a dan b disebut faktor sedangkan c disebut hasil kali a dan b. Perkalian pada
himpunan bilangan real mempunyai sifat-sifat berikut;
2..2.1. Untuk setiap a dan b berlaku a* b = b* a (sifat komutatif atau pertukaran)
2.2.2. Ada 1 untuk setiap a, sedemikian hingga a x 1 = a (1 adalah unsur identitas perkalian)
2..2.3. Untuk setiap a ada kebalikan a yaitu 1/a hingga berlaku a x 1/a = 1
2.2.4. Untuk setiap a, b, dan c berlaku ( a*b)*c = a*(b*c) (sifat asosiatif
atau pengelompokan)
2.2.5 Untuk setiap a, b, dan c berlaku a*(b + c) = (a * b) + (a * c) (sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan) (teori 4.1.2)
3. Representasi Bilangan
1.1. Desimal
Kata desimal berasal dari Bahasa Latin decem yang artinya sepuluh. Sistem numerasi
desimal adalah sistem numerasi yang berbasis sepuluh, artinya bilangan 10 dipakai sebagai
acuan pokok dalam melambangkan dan menyebut bilangan. Beberapa sifat sistem decimal :
1.1.1. Menggunakan 10 digit, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9
1.1.2. Lambang bilangan 0 – 9 mempunyai lambing yang sama dengan lambang angka
1.1.3. Bilangan-bilangan yang lebih dari 9 dinyatakan sebagai suku-suku penjumlahan
perpangkatan dari 10.
1.1.4. Bersifat aditif
1.1.5. Bersifat posisional
Contoh :
356 = 3x100 + 5x10 + 6
2749 = 2x106 + 7x102 + 4x10 + 9
¼ = 0,25 atau 0,2500…..
⅓ = 0,333…… atau 0,3
0,016 = 1,6 x 10–2
1.2. Persen
Persen adalah nama lain dari perseratusan, sehingga kata persen dapat digunakan untuk
mengganti kata perseratus.
Misalnya pecahan ¼ dapat dinyatakan 25/100, dan dalam bentuk desimal ditulis 0,25,
keduanya dibaca yaitu dua puluh lima perseratus atau 25 persen ditulis 25%.
2. Membandingkan Bilangan Bulat
Untuk membandingkan bilangan bulat digunakan tanda = (sama dengan), < (kurang dari), >
(lebih dari).
Jika suatu bilangan sama dengan bilangan lain, maka pada garis bilangan letaknya berimpit
dengan bilangan lain. Jika suatu bilangan lebih dari bilangan lain, maka bilangan tersebut

berada di sebelah kanan bilangan lain. Jika suatu bilangan kurang dari bilangan lain,maka
bilangan tersebut berada di sebeleh kiri bialangan lain.
Latihan – 2 (contoh ini kurang 4.1.1)
Kerjakan soal berikut dengan cermat.
1. Ambilah 3 sembarang bilangan bulat ! dari bilangan-bilangan itu kemudian ;
a. Bandingkan bilangan yang satu dengan yang lainnya, serta gambarkan pada garis
bilangan ! (contoh 4.2.3)
b. Buatlah masing-masing 2 contoh sifat asosiatif perkalian dan pembagian!
c. Buatlah masing-masing 2 contoh sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan
distributif perkalian terhadap pengurangan! (4.1.2)
2. Ambillah beberapa bilangan pecahan, kemudian nyatakan dalam bentuk desimal dan
pecahan !
3. Buatlah contoh masalah yang menunjukkan pembagian pecahan oleh pecahan ! (contoh
4.2.2)

Materi Pelatihan – 3

POLA, RELASI, DAN FUNGSI
1. Pola Bilangan (teori 4.3)
Pada bahasan ini, saudara diajak untuk memahami berbagai macam pola bilangan, serta
cara mengenalkannya kepada siswa.
1.1. Pola bilangan ganjil
Bilangan ganjil adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi dua.
Contoh : 3,5,7,9,11,…..adalah bilangan ganjil, sebab tidak habis dibagi dua, karena jika dibagi
dua menghasilkan sisa satu.
Dengan kata lain bilangan ganjil dapat ditulis dalam bentuk 2k + 1, dimana k adalah bilangan
cacah.
1.2. Pola bilangan genap
Bilangan genap adalah bilangan asli yang habis dibagi dua
Contoh : 4,6,8,10,…….adalah bilangan genap, sebaba habis dibagi dua, atau jika dibagi dua
sisanya nol.
Dengan kata lain bilangan genap dapat ditulis dalam bentuk 2k, dimana k adalah bilangan
cacah
1.3. Pola barisan bilangan
Deretan bilangan-bilangan dikatakan mempunyai pola barisan bilangan jika tiga bilangan yang
berurutan mempunyai selisih atau rasio yang sama antara dua bilangan yang berdekatan.
Contoh : 1, 4, 7, 10, 13, …. dan 2, 4, 8, 16, 32, ……merupakan pola barisan bilangan, karena
1, 4, 7, 10, 13, ……mempunyai selisih yang sama antara dua bilangan yang berdekatan.
Sedangkan 2, 4, 8,16, 32, …. mempunyai rasio yang sama.
2. Relasi
Istilah “relasi” dapat diartikan “hubungan” yang sering kita dengar, misalnya hubungan “ayah”
dengan “anak”, hubungan “guru” dengan “murid”, dan sebagainya.

Untuk mendefinisikan suatu relasi R diperlukan : (1) suatu himpunan A, (2) suatu himpunan B,
dan (3) suatu aturan atau kalimat matematika terbuka. Relasi dapat disajikan dalam diagram
panah.
Contoh :
digram panah relasi “nomor sepatunya”
Relasi, selain dinyatakan dalam diagram panah juga dapat disajikan dalam bentuk pasangan
terurut, seperti berikut ini :
2.1. R = {(1,2),(2,4),(3,6)} merupakan relasi “setengah dari”
2.2. T = {(2,4), (3,9), (4,16)} merupakan relasi “akar dari”
Elemen-elemen pertama dari pasangan terurut R disebut domain (daerah asal), sedangkan
elemen-elemen kedua dari pasangan terurut R disebut range (daerah hasil)
3. Fungsi
Seperti halnya relasi maka untuk mendefinisikan suatu fungsi diperlukan tiga hal pula, yaitu; (1)
himpunan A, (2) himpunan B, dan (3) suatu kalimat terbuka yang juga disebut aturan yang
mengaitkan tiap elemen x Є A dengan suatu elemen tunggal y Є B
Contoh :
(a) (b) (c) (d)
Dari gambar -2 diatas terlihat bahwa, gambar :
(a) Bukan fungsi, karena ada sebuah unsur dari A yang tidak mempunyai pasangan pada B
(b) Bukan fungsi, karena ada sebuah unsur dari A yang berpasangan dengan dua unsur dari B
(c) Fungsi, karena setia unsure dari A dipasangkan dengan tepat satu anggota dari B
(d) Fungsi, karena setia unsure dari A dipasangkan dengan tepat satu anggota dari B
Ahmad Badu Eny 37 38 39 40 41
Gambar – 1
Definisi : Relasi R dengan suatu kalimat terbuka dari himpunan A ke
himpunan B adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya semua
pasangan terurut (x,y) dengan x Є A dan y Є B sedemikian rupa sehingga
kalimat terbukanya menjadi bernilai benar
Definisi : Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap anggota dari A dengan tepat satu anggota dari B.
Hal ini ditulis :
f : A B
Gambar – 2

Latihan – 3
1. Lanjutkan pola bilangan berikut sampai suku ke 10 : (indikator 4.3.1)
a. 1, 4, 9, 16, …………
b. 8, 4, 2, 1, …………
c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, ………….
2. Tentukan relasi dari pasangan terurut berikut : {(1,1),(2,4),(3,9)}
3. Berikan contoh relasi dan fungsi yang menyatakan kejadian dalam kehidupan sehari-hari
(minimal 3 contoh) (4.3.2 belum ada)
Materi Pelatihan – 4
PENGUKURAN dan GEOMETRI
(TEORI 4.4)
Hasil dari pengukuran bukan merupakan sesuatu yang tepat, melainkan hanya suatu
pendekatan. Misalkan. Rina berdiri di depan kelas dan Ibu guru akan mengukur tinggi badan
Rina. Pada saat Ibu guru mengukur dengan menggunakan penggaris kayu tinggi badan Rina
adalah 150 cm, tetapi setelah diukur dengan menggunakan pengukur tinggi badan ternyata
tinggi badan Rina adalah 148 cm. Kegiatan mengukur yang dilakukan Ibu guru pada Rina selain
menggunakan penggaris kayu, pengukur tinggi badan dapat juga menggunakan jengkal tangan.
Pada dasarnya banyak sekali pengukuran yang dilakukan yaitu pengukuran panjang,
pengukuran berat, pengukuran waktu, pengukuran luas, pengukuran keliling dan lain-lain.
Dalam modul ini hanya akan dibahas 2 pengukuran saja yaitu pengukuran panjang dan
pengukuran luas.
4.1. Pengukuran Panjang
Panjang suatu benda adalah banyak satuan panjang yang terdapat pada benda tersebut.
Jadi untuk menyatakan panjang diperlukan satuan panjang. Satuan panjang ada yang tidak
baku dan ada yang baku. Contoh satuan panjang yang tidak baku adalah: jengkal, depa, hasta,
kaki, langkah, set ik, dan manik-manik. Contoh satuan panjang yang baku adalah: cm, m, dan
km.
Penggunaan satuan panjang tersebut sangat bergantung pada keperluan, misal: seseorang
yang mengukur meja. Bila dia mengukur dengan satuan tidak baku, mungkin akan
menggunakan depa, jengkal, atau langkah. Jarang orang yang mengukur panjang meja dengan
hasta, j ika orang tersebut mengukur panjang meja dengan satuan baku maka dia akan
menggunakan satuan cm atau m, bukan km.
Dengan pertolongan satuan panjang, baik pengukuran dalam bentuk baku maupun tidak baku,
bila dua benda yang dibandingkan panjangnya tidak dapat diimpitkan, orang akan mengukur
panjang kedua benda tersebut menggunakan satuan panjang. Satuan panjang yang digunakan
dapat berupa satuan panjang yang tidak baku maupun yang baku. Berdasarkan hasil yang
diperoleh dari kegiatan mengukur, orang membandingkan panjang kedua benda.
Berikut disajikan beberapa hal yang terkait dengan panjang
4.1.1. Dony ingin berlibur ke Malang dengan menggunakan kereta api. Jarak kota Surabaya ke
Malang adalah 134 km

Gambar 1
4.1.2. Agus mempunyai hobby bermain layang-layang. Setiap akan memainkan layangannya,
dia memperhitungkan panjang benang yang dibutuhkan supaya tinggi layang-layang
maksimal. Agus memperhitungkan, dia membutuhkan 20 meter
Jika seseorang akan membandingkan panjang dua benda, ada beberapa cara yang dapat
digunakannya. Berikut disajikan cara-cara yang mungkin digunakan orang untuk
membandingkan tinggi dua benda.
Gambar 3.a Gambar 3.b
Gambar 2.a adalah membandingkan tinggi tabung dengan cara melihat. Sedangkan
gambar 2.b adalah membandingkan tinggi tabung dengan cara disejajarkan.
Anda dapat mengatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang anda
tempuh bila anda mengitari bangun tersebut. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa keliling
suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya.
Contoh 1:
Perhatikan gambar bangun datar berikut ini!
Sekarang marilah kita mengingat kembali rumus keliling bangun-bangun datar, yang telah anda
kenal.
4.1.1. SEGITIGA
Gambar – 2.a
Gambar – 2b
Amatilah sifat-sifat bangun datar
disamping
Sifat-sifat bangun datar di samping adalah
sbb;
- Bangun ABCD adalah persegi panjang
- Mempunyai empat buah sisi
- Sisi-sisinya yang berhadapan sama
panjang, yaitu AD=BC, AB = DC
- Keempat pojoknya berbentuk siku-siku
A B
D C
Amatilah sifat-sifat bangun datar
disamping
- Bangun KLMN adalah persegi
- Keempat sisinya sama panjang
yaitu KL = LM = MN = NK
- Keempat pojoknya berbentuk siku-siku
K L
N M

Gambar di samping adalah gambar segiliga yang panjang
sisi-sisinya berturut-turut a satuan panjang, b satuan panjang,
dan r satuan panjang. Jika K satuan panjang menyalakan
keliling segiliga, maka:
4.1.2. PERSEGIPANJANG
Misalkan kita mengukur keliling dari sebuah foto. Kita bisa mengukur dengan menggunakan
penggaris pada tiap sisinya.
Foto diatas berbentuk persegipanjang. Gambar 5, menunjukkan foto yang digambar menurut
sisi-sisinya.
atau
Jika K menyatakan keliling persegipanjang, p menyatakan panjang persegipanjang dan l
adalah lebar persegi panjang maka keliling persegi panjang dapat dinyatakan:
4.1.3. PERSEGI
Gambar 6 dibawah ini menunjukkan gambar ubin yang berbentuk persegi.
Gambar 6
Gambar 7 menunjukkan ubin yang digambar menurut sisinya
Panjang setiap sisi persegi adalah sama. Jika K menyatakan keliling persegi, s adalah panjang
sisi persegi, maka keliling persegi dapat dinyatakan:
l
l
p
K = 2 (p + l )
s
K = 4 x s
K = a + b + c
Gambar – 4
Gambar – 5
Gambar – 6 Gambar – 7
p

4.1.3. LINGKARAN
Gambar 8 adalah gambar lingkaran dengan panjang jari-jari r satuan panjang.
Misal K adalah keliling lingkaran, dan r adalah jari-jari lingkaran, maka:
Karena diameter (garis tengah) lingkaran, d, sama dengan 2 r maka K dapat juga dinyatakan
sebagai:
Nilai diperoleh dari pembagian keliling lingkaran dengan diameter atau jari-jari lingkaran. Nilai
yang diperoleh masing-masing siswa pasti tidak sama. Tapi telah disepakati bahwa nilai =
3.14 atau =
4.2. Pengukuran Luas
Luas suatu benda adalah banyak satuan luas yang "tepat" dapat menutup benda tersebut.
Jadi untuk menyatakan luas diperlukan satuan luas. Seperti halnya satuan panjang, satuan
luas juga ada yang tidak baku dan ada yang baku. Contoh satuan luas yang tidak baku
adalah: buku, eternit, dan tegel. Contoh satuan luas yang baku adalah: cm2, m2, dan are.
Pada matematika, yang dimaksud luas suatu bangun datar adalah luas daerah yang
dibatasi oleh bangun datar tersebut. Contoh: yang dimaksud dengan luas segitiga adalah luas
daerah yang dibatasi oleh bangun segitiga. Sedangkan luas bangun ruang adalah luas
seluruh permukaan bangun ruang tersebut. Contoh: luas kubus adalah jumlah luas seluruh
persegi yang menjadi sisi kubus. Karena luas bangun ruang terkait dengan luas bangun datar,
maka pada kesempatan kali ini yang akan dibahas adalah luas bangun datar saja.
Ada beberapa bangun datar yang kita kenal, di antaranya adalah: segitiga, persegi,
persegipanjang, trapesium. Setiap bangun tersebut mempunyai rumus luas sendiri-sendiri.
Pada kesempatan kali ini tidak semua rumus luas bangun datar dibahas. Luas bangun datar
yang dibahas hanya luas persegi panjang, karena luas bangun datar yang lain dapat
ditentukan berdasarkan luas persegi panjang.
Untuk itu, perhatikan gambar berikut:
K = 2 x x r
K = x d
Gambar – 8
.
r

Berapa luas persegi panjang tersebut? Untuk dapat menjawab pertanyaan ini bergantung pada
satuan luas yang dipakai. Bila satuan luas yang dipakai untuk menentukan luas persegi panjang
tersebut adalah persegi panjang berikut
Maka luas persegipanjang pada Gambar 9 diperoleh dengan membilang banyak persegipanjang
pada Gambar 10 yang tepat dapat menutup seluruh permukaan yang dibatasi oleh
persegipanjang di Gambar 9. Untuk itu dapat dilihat Gambar 11.
Dari Gambar 11 terlihat bahwa ada 40 persegipanjang pada Gambar 10 yang "tepat" menutup
seluruh permukaan yang dibatasi oleh persegi panjang pada (gambar 9. Hal ini dikatakan bahwa
luas persegipanjang di Gambar 9 sama dengan 40 persegipanjang di Gambar 10. Dalam hal ini
persegi-panjang di Gambar 10 merupakan satuan luas yang digunakan untuk menentukan luas
persegipanjang di Gambar 9.
Jika kita menggunakan satuan luas yang baku, maka luas persegipanjang didapatkan rumus
Luas lingkaran dapat diperoleh dengan menggunakan rumus:
4.3. Pengukuran Volume
Volum suatu benda adalah banyak satuan volum yang "tepat" terdapat dalam benda
tersebut, jadi untuk menyatakan volum diperlukan satuan volum. Volum bangun ruang adalah
volum ruang yang dibatasi oleh bangun ruang tersebut. Contoh: volum kubus adalah volum
ruang yang dibatasi oleh sisi-sisi kubus. Seperti halnya luas, satuan volum juga ada yang tidak
baku dan ada yang baku. Contoh satuan volum yang tidak baku adalah: gelas, cangkir, dan
botol. Contoh satuan volum yang baku adalah: cm3, m3 dan liter.
Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam persegi yang kongruen.
L = l x p
K =
E
D
A
C
B
H G
F
Gambar – 9
Gambar – 10
Gambar – 12
Gambar – 11

Kubus pada gambar 12 diberi nama ABCD. EFGH atau
EFGH
ABCD
.
Volume Kubus
(a) (b)
Pada gambar (13a), tampak kubus satuan. Pada gambar (13b) tampak kubus yang memiliki
panjang rusuk 3 satuan panjang. Volume kubus (13b) = ( 3x3x3 ) satuan volume = 27 satuan
volume.
Dengan demikian, volume kubus (V) yang memiliki panjang rusuk a dirumuskan sebagai
berikut:
Keterangan:
V = volume kubus
a = panjang rusuk kubus
Jadi volumen kubus sama dengan panjang rusuknya dipangkatkan tiga
Balok pada gambar 14 diberi nama KLMN.PQRS atau
PQRS
KLMN
.
Volume Balok
V = a x a x a = 3 a
K L
M
N
P Q
S
R
(a)
(b)
Gambar – 13
Gambar – 14
Gambar – 15

Pada gambar (15a), tampak kubus satuan, Pada gambar (15b) tampak balok yang memiliki
panjang 4 satuan panjang, lebar 3 satuan panjang, dan tinggi 2 satuan panjang. Volume balok
(15b) = ( 4 x 3 x 2 ) satuan volume = 24 satuan volume.
Dengan demikian, volume balok (V) yang panjangnya p satuan panjang, lebarnya l satuan
panjang, dan tingginya t satuan panjang, dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan:
V = volume balok
p = panjang balok
l = lebar balok
t = tinggi balok
Jadi volume balok sama dengan perkalian panjang, lebar, dan tinggi balok.
Selain kubus dan balok, bangun ruang yang dipelajari adalah prisma, limas, kerucut, tabung,
dan bola. Buatlah kegiatan untuk membelajarkan siswa agar dapat mencapai kompetensi
tersebut.
4.4 Kecepatan
Contoh : ( terapan 4.3.3)
Karin pergi dari kota A ke kota B dengan sepeda motor berkecepatan 60 km/jam. Jarak kedua
kota tersebut adalah 150 km. Waktu yang diperlukan Karin untuk tiba di kota Badalah..........
Jawaban :
Kecepatan = 60 km/jam
Jarak = 150 km
Waktu = jarak : kecepatan
= (150 : 60) jam
= 2,5 jam
V = p x l x t
Jarak
Kecepatan Waktu
Jarak = kecepatan x waktu
Kecepatan = Jarak : waktu
Waktu = Jarak : kecepatan
Satuan kecepatan = km/jam
Satuan waktu = jam
Satuan jarak = km

Latihan – 4 (Kurang 4.3.3)
1. Buatlah persegipanjang dengan keliling 30 satuan panjang. Bilangan yang
menyatakan panjang sisi persegipanjang adalah bilangan asli. Berapakah luas
terkecil dari persegipanjang yang dapat Anda buat? Berapakah luas terbesar dari
persegipanjang yang dapat Anda buat?
2. Buatlah persegi panjang dengan luas 24 satuan luas. Bilangan yang menyatakan panjang
sisi persegi panjang adalah bilangan asli. Berapakah keliling terpanjang dari persegi
panjang yang Anda buat? Berapakah keliling terpendek dari persegi panjang yang Anda
buat?
3. Apakah Anda dapat menentukan rumus luas segitiga, persegi, jajargenjang, dan trapesium
dari luas persegipanjang? Jika Anda tidak dapat menentukannya, jelaskan mengapa. Jika
Anda dapat menentukannya, tunjukkan bagaimana Anda memperolehnya. Berikut adalah
gambar bangun yang dimaksud.
Segitiga Persegi Jajar Genjang Trapesium
4. Pada materi pengukuran volum hanya dibahas tentang volum balok. Apakah Anda dapat
menentukan volum kubus, prisma, dan limas berdasarkan volum balok? Jika Anda tidak
dapat menentukannya, jelaskan mengapa. Jika Anda dapat menentukannya, tunjukkan
bagaimana Anda memperolehnya.
Materi Pelatihan – 5
PELUANG DAN PENGOLAHAN DATA
1. Peluang TEORI 4.5
Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan
orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peritiwa. Oleh karena itu, untuk
mendiskusikannya dimulai dengan suatu pengamatan.
Contoh :
Percobaan melempar satu mata uang logam (Rp 500 )
Hasil yang mungkin:
1.1. Tampak sisi belakang (B), yaitu nilai Rp 500, dan
1.2. Tampak sisi depan (D), yaitu gambar burung garuda
Percobaan melempar satu mata dadu
Hasil yang mungkin; sisi-sisi dadu yang menunjukkan jumlah bulatan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Dalam menjalani kehidupan sehari-hari, secara sengaja atau tidak, manusia juga
melakukan percobaan. Nenek yang menunggu kelahiran cucunya tanpa sadar melakukan suatu
percobaan, Nenek tersebut melakukan suatu pengamatan, cucunya akan lahir laki-laki atau
perempuan.
1.1. Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
Ruang sampel dinotasikan dengan “S”.
Contoh : Percobaan pelemparan satu mata uang logam sebanyak dua kali berurutan, maka
ruang sampelnya; S = {BB, BD, DB, DD}
1.2. Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh : Percobaan pelemparan satu mata uang logam sebanyak dua kali berurutan, ruang
sampelnya; S = {BB, BD, DB, DD}. Kejadian munculnya paling sedikit satu sisi belakang adalah
{BB, BD, DB}
Karena kejadian merupakan suatu himpunan, maka himpunan kosong { } merupakan kejadian
yang tidak mungkin terjadi (kemustahilan)
1.3. Peluang suatu Kejadian
Misalnya, S mewakili suatu ruang sampel dengan n(s) banyaknya hasil yang mungkin yang
mempunyai kesempatan sama untuk muncul (equally likely), dan missal A suatu kejadian pada
ruang sampel S yang berisi n(A) hasil, A Í S, peluang kejadian A didefinisikan dengan :
( )
n(S)
n A
R(A) =
Contoh : Pada percobaan pelemparan satu mata uang logam tersebut diatas, berapa peluang
kejadian munculnya paling sedikit satu sisi belakang ?
Jawab : S = {BB, BD, DB, DD}, maka n(S) = 4
Kejadian munculnya paling sedikit satu sisi belakang, A = {BB, BD, DB}, maka n(A) = 3
Jadi
( )
n(S)
n A
R(A) = =
4
3
1.4. Sifat-sifat Peluang
Misal, S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang sampel S.
1.4.1. Jika A = ø maka p(A) = 0
1.4.2. Nilai peluang kejadian A, yaitu p(A) berkisar pada 0 ≤ p(A) ≤ 1
1.4.3. Jumlah nilai peluang semua hasil dari suatu percobaan sama dengan 1 (p(S) = 1)
(Probabilitas teori saja, tanpa indikator esensial)
2. Penyajian Data (teori 4.4.1)
2.1. Tabel
Dalam kehidupan sehari-hari orang sering memerlukan berbagai informasi untuk suatu
keperluan tertentu. Perhatikan informasi tentang pengurusan Surat Ijin Mengemudi (SIM)
berikut ini:

Seseorang yang mengurus Surat Ijin Mengemudi (SIM) lewat calo harus mengeluarkan
uang lebih banyak dan memerlukan waktu lebih cepat daripada mengurus sendiri. Bila orang
mengurus sendiri Surat Ijin Mengemudi (SIM) dari berapa tipe SIM yaitu SIM A, SIM B, SIM C
mengeluarkan uang masing2 Rp 125.000,00, Rp 175.000,00 dan Rp 100.000,00. Kalau
pengurusan melalui calo biaya yang dikeluarkan berturut-turut adalah: Rp 250.000,00, Rp.
375.000,00 dan Rp 300.000,00. Berdasarkan waktu pengurusan, waktu yang diperlukan
bila mengurus sendiri berturut-turut adalah: 2 hari, sebulan, dan 1 minggu. Kalau pengurusan
melalui calo, waktu yang diperlukan berturut-turut adalah: 1 hari, 1 minggu, dan 2 hari .
Untuk memahami informasi tersebut di atas cukup sulit, karena disajikan dalam bentuk
narasi. Sekarang informasi tersebut disajikan dalam bentuk tabel.
No. Yang mengurus Jenis SIM Biaya Lama Pengurusan
1. Sendiri
SIM A Rp 125.000,00 2 hari
SIM B Rp 175.000,00 1 bulan
SIM C Rp 100.000,00 1 minggu
2 Calo SIM A Rp 250.000,00 1 hari
SIM B Rp. 375.000,00 1 minggu
SIM C Rp 300.000,00 2 hari
2.2. Diagram Batang
Data dapat disajikan dalam bentuk diagram batang. Jika data di atas disajikan dalam bentuk
diagram batang, maka diagramnya sebagai berikut :
Keterangan :
= mengurus sendiri
= mengurus dengan calo Contoh 4.4.1
PERBANDINGAN MENGURUS SENDIRI DENGAN
CALO
0
50
100
150
200
250
300
350
400
SIM A SIM B SIM C
dalam ribuan
Series1
Series2

2.3. Diagram Lingkaran
Data ada pula yang disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Berikut adalah contoh
diagram lingkaran tentang film kartun kesukaan siswa. Setengah dari seluruh siswa menyukai
film naruto, seperempat dari mereka menyukai film conan, dan sisanya menyukai doraemon.
Data tersebut dapat disajikan dalam diagram lingkaran berikut.
3. Pemusatan Data (Teori 4.5.2)
3.1. Modus
Kelas V sekolah A di daerah Surabaya mempunyai 20 siswa yang terdiri dari 9 siswa lakilaki
dan 11 siswa perempuan. Dari kalimat ini dapat diketahui bahwa siswa perempuan kelas V
sekolah A di daerah Surabaya lebih banyak dibanding anak laki-laki. Jadi anak perempuan
merupakan modus dalam sekolah A kelas V di daerah Surabaya.
Ketika diadakan ulangan matematika, ke 20 siswa Kelas V sekolah A di daerah Surabaya
mendapat nilai sebagai berikut : 7, 6, 5, 8, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 5, 8, 8, 9, 7, 7, 6, 6. Dari data
tersebut terlihat bahwa banyak siswa Kelas V sekolah A yang mendapat nilai 7. Dalam hal ini 7
adalah modusnya.
Pekerjaan orang tua di Kelas V sekolah A di daerah Surabaya dari masing-masing siswa
adalah: PNS, Petani, PNS, Polisi, Tentara, Wiraswasta, Petani, PNS, Karyawan Swasta,
Wiraswasta, PNS, Petani, Petani, Wiraswasta, PNS, Petani, Wiraswasta, Polisi, Tentara,
Petani. Dari data tersebut dapat dilihat bahwa pekerjaan Petani dan PNS muncul 5 kali dan
nilai yang lain muncul dibawah 5. Jadi ada 2 modus pada kumpulan data tersebut. Kedua
modus itu adalah Petani dan PNS.
Dari dua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa modus merupakan suatu kejadian yang
sering muncul dalam suatu data
3.2. Rata-rata
Marilah kita perhatikan nilai ulangan Matematika dari Kelas V sekolah A di daerah
Surabaya. Dari data tersebut dapat dihitung rata-rata nilai siswa Kelas V sekolah A di daerah
Surabaya. Rata-rata tersebut adalah (7 + 6 + 5 + 8 + 7+ 7 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10 + 5 + 8 + 8 +
9 + 7 + 7 + 6 + 6) : 20 = 7,3. Jadi nilai rata-rata matematika siswa kelas V sekolah A di
Surabaya adalah 7,3. Contoh 4.4.2
Doraemon
Sincan
Naruto Gambar 3 Contoh 4.4.1

3.3. Median
Kalau nilai ulangan dari Kelas V sekolah A di daerah Surabaya diurutkan dari nilai
terendah ke nilai tertinggi adalah: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10 Dalam hal
ini nilai tengahnya adalah 7. Jadi mediannya adalah 7.
Latihan – 5 (Soal 4.4.1 + 4.4.2)
Buatlah data dalam bentuk tabel, tentang nilai matematika di kelas yang selama ini saudara
pegang !
Setelah itu sajikan data tersebut ke dalam:
1. Diagram Batang
2. Diagram Garis
3. Diagram Lingkaran
Lalu carilah modus, median, dan rata-ratanya.
TUGAS
1. Carilah luas bangun berikut!
2. Hanim memiliki sebuah cokelat tobleron yang bungkus kardusnya berbentuk prisma tegak
segitiga dan memiliki sisi alas segitiga sama kaki dengan alas 6 cm dan tinggi 4 cm.
sedangkan tinggi bungkus cokelat tersebut adalah 20 cm. tentukan luas sisi cokelat
tersebut ?
3. Carilah penggunaan bilangan untuk berbagai keperluan yang dapat Anda jumpai dalam
kehidupan sehari-hari.
4. Setelah diadakan ulangan matematika 20 siswa Kelas V sekolah A di daerah Surabaya
mendapat nilai sebagai berikut : 7, 8, 5, 8, 7, 9, 7, 9, 8, 9, 9, 10, 5, 8, 8, 9, 5, 7, 6, 6.
Carilah: (a) Modus (b) Median (c) Mean (d) Buatlah diagram lingkarannya
20cm
15cm
10cm
8cm
13cm
5cm